¿Se puede entender el núcleo coseno como un caso de distribución Beta?

Como señalaron Wand y Jones (1995), la mayoría de los núcleos estándar pueden verse como un caso de

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

familia, donde $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ es una función Beta. Diferentes valores de $p$ conducen a núcleos rectangulares ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), biweight ( $p=2$ ) y triweight ( $p=3$ ).

Puede coseno kernel (como se entiende en la densityfunción de R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

¿También ser pensado como miembro de esta familia? Si es así, ¿cuál es el valor apropiado de $p$ para ello? Después de hacer algunas simulaciones, supongo que $\approx 2.35$ está bastante cerca, pero ¿cómo puedo encontrar la correcta sin simulación? Si no, ¿se puede aproximar usando la distribución beta?

Wand, MP y Jones, MC (1995). Alisado del grano. Chapman and Hall, Londres.

distributions kernel-smoothing beta-distribution

— Tim
fuente

La función beta con argumentos enteros es solo una proporción de factoriales, pero para argumentos no enteros dudo que se simplifique a algo útil; y ciertamente es solo un número dependiendo de por lo que no hay forma de que pueda obtener una función coseno de esta expresión.

p

$p$

— ameba

@amoeba todavía, ¿puede ser aproximado? Y la segunda pregunta es: ¿cómo encontraron los valores para los otros núcleos?

— Tim

@Tim, ¿qué quieres decir con "cómo se encontraron"? ¿Solo con enchufarlo?

— Christoph Hanck

@amoeba, no necesitas todo el coseno, solo la curva entre . Como sabemos, es una suma infinita de polinomios (expansión de Taylor alrededor de cero).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Firebug

@ChristophHanck bien, esto era obvio, retracto esta pregunta :) De alguna manera comencé a pensar en términos de distribución Beta en lugar de centrarme directamente en ella.

— Tim

El núcleo del coseno no es una distribución beta.

Tenga en cuenta que las siguientes cosas son ciertas para la densidad estándar del coseno:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
La mitad derecha de esta densidad es rotacionalmente simétrica respecto a : (es decir, considerando las otras dos propiedades, implica ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Pero ninguna densidad beta en (-1,1) tendrá todas estas propiedades juntas.

La densidad simétrica del núcleo beta se puede escribir como:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Por ejemplo, la primera condición implica una de aproximadamente ( ). El segundo implica una de 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Sin embargo, los valores de cerca de esa elección de (3.38175) dan densidades realmente bastante cercanas al coseno. $a$ $a$

[Esto está bastante cerca de su (ya que ); un rango de valores en esta región da densidades similares al coseno.] $p=2.35$ $p=a-1$

La desviación absoluta más pequeña en la densidad ocurre para , no es que minimizar las desviaciones absolutas hará que las propiedades sean más parecidas. $p\approx 2.3575$

Aquí está el coseno y beta (con ): $p=2.3575$

Aunque no son lo mismo, tienen una forma bastante similar.

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

Sólo quería decir gracias. Es interesante saber que si bien es imposible obtener una coincidencia exacta, podemos acercarnos tanto por aproximación.

— Tim

El valor de debería sorprender, porque una aproximación de la serie Taylor de tercer orden al coseno sugiere .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

— whuber