¿Qué es una muestra de una variable aleatoria?

La variable aleatoria se define como una función medible desde un álgebra con la medida subyacente a otra -algebra . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

¿Cómo hablamos de una muestra de esta variable aleatoria? ¿Lo tratamos como un elemento de ? ¿O como la misma función medible que ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

¿Dónde puedo leer más sobre esto?

Ejemplo:

En la estimación de Monte Carlo, demostramos la imparcialidad del estimador al considerar que las muestras son las funciones. Si una expectativa de una variable aleatoria se define como $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

y suponiendo que son funciones y , podemos proceder de la siguiente manera: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

Si fuera solo un elemento de , no podríamos haber escrito el último conjunto de ecuaciones. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
fuente

en su ejemplo, todo tendría la misma distribución que la que ha descrito, de ahí su expecation es la misma que la de .

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

Respuestas:

Una muestra es una función medible de a . Una realización de esta muestra es el valor tomado por la función en , . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Al declarar

suponiendo que son funciones y $X^n$ $X^n=X$

Las funciones son funciones diferentes, lo que significa que las imágenes pueden ser diferentes para un determinado . Cuando la muestra es iid (independiente e idénticamente distribuida), las funciones son diferentes con otras dos propiedades $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

distribución idéntica, lo que significa que para todos los conjuntos medibles en ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
independencia, lo que significa que para todos los conjuntos medibles en $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Su definicion

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

es incorrecto: debería ser

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— Xi'an
fuente

$n$ $n$ $n$ tienes. Las muestras se consideran variables aleatorias porque los procesos aleatorios conducen a dibujarlas. Se distribuyen de manera idéntica ya que provienen de una distribución común. Para tratar con muestras tenemos estadísticas, mientras que las estadísticas usan una descripción matemática abstracta de sus problemas en términos de teoría de probabilidad, por lo que la terminología es mixta. Las variables aleatorias son funciones que asignan probabilidades a eventos que se pueden encontrar en sus muestras.

— Tim
fuente

¿Qué pasa en el contexto de simulación de Monte Carlo? Allí, las muestras no son de una población. Son de generadores de números aleatorios.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r todavía es muestra, extraída de una distribución común.

— Tim

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

@ sk1ll3r como dijo bdeonovic, es solo una variable aleatoria ordinaria, nada más que esto.

— Tim