¿Cuál es la fórmula para el valor p ajustado de Benjamini-Hochberg?

Entiendo el procedimiento y lo que controla. Entonces, ¿cuál es la fórmula para el valor p ajustado en el procedimiento BH para comparaciones múltiples?

Justo ahora me di cuenta de que el BH original no producía valores p ajustados, solo ajustaba la condición de (no) rechazo: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth introdujo los valores p de BH ajustados en 2002 de todos modos, por lo que la pregunta aún se aplica. Se implementa en R como p.adjustcon el método BH.

El famoso artículo seminal de Benjamini y Hochberg (1995) describió el procedimiento para aceptar / rechazar hipótesis basadas en el ajuste de los niveles alfa. Este procedimiento tiene una reformulación equivalente directa en términos de valores $p$ ajustados , pero no se discutió en el documento original. Según Gordon Smyth , introdujo los valores $p$ ajustados en 2002 cuando se implementó p.adjusten R. Desafortunadamente, no hay una cita correspondiente, por lo que siempre me ha quedado claro qué se debe citar si se usan valores $p$ ajustados por BH .

Resulta que el procedimiento se describe en Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Una forma alternativa de presentar los resultados de este procedimiento es presentar los valores $p$ ajustados . Los valores $p$ ajustados por BH se definen como

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Esta fórmula parece más complicada de lo que realmente es. Dice:

1. Primero, ordene todos los valores $p$ de pequeño a grande. Luego, multiplique cada valor de $p$ por el número total de pruebas $m$ divida por su orden de clasificación.
2. En segundo lugar, asegúrese de que la secuencia resultante no disminuya: si alguna vez comienza a disminuir, haga que el valor $p$ anterior sea igual al subsiguiente (repetidamente, hasta que la secuencia completa no disminuya).
3. Si algún valor $p$ termina siendo mayor que 1, haga que sea igual a 1.

Esta es una reformulación directa del procedimiento original de BH de 1995. Puede existir un documento anterior que introdujo explícitamente el concepto de valores $p$ ajustados por BH , pero no conozco ninguno.

Actualizar. @Zenit descubrió que Yekutieli y Benjamini (1999) describieron lo mismo ya en 1999:

Primero una respuesta al punto. Considere que es el valor p (prueba única) asociado con el valor z 0 del estadístico de prueba. El FDR Benjamini-Hochberg se calcula en dos pasos ( N 0 = # valores ≤ p 0 , N = # valores):$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Ahora entendamos esto. La idea subyacente (bayesiana) es que las observaciones provienen de una mezcla de dos distribuciones:

• observaciones de la densidad nula f 0 ( z $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

Lo que se observa es la mezcla de esos dos:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Las definiciones (bayesianas) son:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

(Basado en la inferencia estadística de la era de la computadora de Efron y Tibshirani )