¿Cuáles son las propiedades de una distribución media Cauchy?

Actualmente estoy trabajando en un problema, donde necesito desarrollar un algoritmo de Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC) para un modelo de espacio de estado.

Para poder resolver el problema, se me ha dado la siguiente probabilidad de : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). es la desviación estándar de . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Así que ahora sé que es una distribución de medio Cauchy, porque lo reconozco al ver ejemplos y, porque me lo dijeron. Pero no entiendo completamente por qué es una distribución "Half-Cauchy" y qué propiedades vienen con ella.

En términos de propiedades, no estoy seguro de lo que quiero. Soy bastante nuevo en este tipo de teoría econométrica. Entonces es más para mí entender la distribución y cómo la usamos en un contexto de modelo de espacio de estado. El modelo en sí se ve así:

\begin{aligned} y_{t} & = X_{t} + {mi}_{t} \\ X_{t + 1} & = X_{t} + {una}_{t + 1} \\ {una}_{t + 1} & \sim norte (0 0, τ^{2}) \\ pags (σ^{2}) & \propto 1 / / σ^{2} \\ pags (τ) & = \frac{2 yo (τ > 0 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Editar: en p ( ). Gracias por señalar esto. $\pi$ $\tau$

— Christoph
fuente

Indique qué propiedades le interesan: después de todo, hay infinitas que podría describir.

— whuber

Las medias distribuciones de distribuciones simétricas tienen el doble de la altura funcional del área para su rango, cuyo rango es un rango medio, a menudo pero no necesariamente comenzando en cero .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Una mitad Cauchy es una de las mitades simétricas de la distribución Cauchy (si no se especifica, es la mitad derecha la que se pretende):

Como el área de la mitad derecha de un Cauchy es la densidad debe duplicarse. De ahí el 2 en su pdf (aunque le falta un como lo señaló whuber en los comentarios). $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

El medio Cauchy tiene muchas propiedades; algunas son propiedades útiles que podemos desear en una previa

Una opción común para un parámetro anterior en una escala es la gamma inversa (no menos importante, porque es conjugada para algunos casos familiares). Cuando se desea un previo débilmente informativo, se utilizan valores de parámetros muy pequeños.

El medio Cauchy tiene una cola bastante pesada y, también, puede considerarse como bastante poco informativo en algunas situaciones. Gelman ([1], por ejemplo) aboga por la mitad de t anteriores (incluida la mitad de Cauchy) sobre el gamma inverso porque tienen un mejor comportamiento para valores de parámetros pequeños, pero solo lo considera muy informativo cuando se utiliza un parámetro a gran escala *. Gelman se ha centrado más en el medio Cauchy en los últimos años. El artículo de Polson y Scott [2] da razones adicionales para elegir el medio Cauchy en particular.

* Su publicación muestra un medio Cauchy estándar. Gelman probablemente no elegiría eso para un prior. Si no tiene sentido en absoluto de la escala, corresponde a decir que es probable que la escala sea superior a 1 como inferior a 1 (que puede ser lo que desee), pero no encajaría con algunas de las cosas que Gelman está argumentando. para.

[1] A. Gelman (2006),
"Distribuciones previas para parámetros de varianza en modelos jerárquicos"
Bayesian Analysis , vol. 1, N. 3, págs. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson y JG Scott (2012),
"Sobre el previo Half-Cauchy para un parámetro de escala global"
Bayesian Analysis , vol. 7, núm. 4, págs. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, ¿cuál es la ubicación en el medio Cauchy en su respuesta?

— rnorouzian

@morouzian ¿en qué medida de ubicación está interesado? Considerado como miembro de una familia de escala de ubicación, el formulario estándar que se está discutiendo tiene una ubicación de 0 y una escala de 1, pero no estoy seguro de si eso es lo que está preguntando. (Su mediana es 1, como se sugiere cerca del final de mi respuesta, si eso ayuda).

— Glen_b -Reinstale a Monica