Si tengo el valor esperado del logaritmo de un RV, ¿puedo obtener el valor esperado del RV en sí?

Suponga que se proporciona , ¿puedo derivar en un formato cerrado? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— Theoden
fuente

¿Conoces la distribución de log x o x? P.ej. ¿Está normalmente distribuido? En el caso más general con siguiendo alguna distribución arbitraria, no podrá decir mucho.

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn el

No. Solo se da el valor medio del log (x).

— Theoden

Casi todo lo que puede decir es que

debido a la desigualdad de Jensen .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

No.

Por ejemplo, si sigue una distribución normal de log, donde , entonces y es independiente de . Sin embargo, su media es $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ . Claramente, no puede derivar unnúmero dependientede unnúmero independiente. $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
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Que tiene sentido. Necesito más información entonces.

— Theoden

O para un ejemplo súper simple, considere variables aleatorias discretas X (tomando el valor 1 con probabilidad 1/3 y 10 con probabilidad 2/3) e Y (tomando el valor 1 con probabilidad 2/3 y 100 con probabilidad 1/3) . Entonces E [log X] = E [log Y] = 1/3 (o algún otro número si prefiere que sus logaritmos se lleven a una base más sensible que 10, pero igual aún en cualquier base log 100 = 2 log 10). Sin embargo, E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop