Muestra esa

Deje y independientes. Muestre que tienen una distribución normal y encuentre los parámetros de esta distribución. $Y_1\sim SN(\mu_1,\sigma_1^2,\lambda)$ $Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ $Y_1+Y_2$

Como las variables aleatorias son independientes, traté de usar convolución. Deje $Z=Y_1+Y_2$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 ϕ (y_{1} | μ_{1}, σ_{1}) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) ϕ (z - y_{1} | μ_{2}, σ_{2}^{2}) d y_{1}

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\phi(y_1|\mu_1,\sigma_1)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\phi(z-y_1|\mu_2,\sigma_2^2)\,\text{d}y_1$

Aquí y son los estándares normales pdf y cdf, respectivamente. $\phi()$ $\Phi()$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{1}}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ_{2}}} e x p (- \frac{1}{2 σ_{1}^{2}} (y_{1} - μ)^{2} - \frac{1}{2 σ_{2}^{2}} ((z - y_{1})^{2} - μ)^{2}) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1}

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}exp\Big(-\frac{1}{2\sigma_1^2}(y_1-\mu)^2-\frac{1}{2\sigma_2^2}((z-y_1)^2-\mu)^2\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1$

Para anotaciones simplificadas, deje $k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{1}^{2} (y_{1} - μ_{1})^{2} + σ_{2}^{2} ((z - y_{1}) - μ_{2})^{2})) Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} \\ = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{2}^{2} (y_{1}^{2} - 2 y_{1} μ_{1} + μ_{1}) + σ_{1}^{2} ((z - y_{1})^{2} - 2 (z - y_{1}) μ_{2} + μ_{2}^{2}))) \\ \times Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} = k \int_{- \infty}^{\infty} \exp \\ (\frac{- 1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} (σ_{2}^{2} (y_{1}^{2} - 2 y_{1} μ_{1} + μ_{1}) + σ_{1}^{2} (z^{2} - 2 z y_{1} + y_{1}^{2} - 2 z μ_{2} + 2 y_{1} μ_{2} + μ_{2}^{2}))) \\ \times Φ (λ (\frac{y_{1} - μ_{1}}{σ_{1}})) d y_{1} \end{aligned}

$\begin{align*}f_Z(z)&=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_1^2(y_1-\mu_1)^2+\sigma_2^2((z-y_1)-\mu_2)^2\Big)\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1\\ &=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2((z-y_1)^2-2(z-y_1)\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1=k\int_{-\infty}^{\infty} \exp\\&\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2(z^2-2zy_1+y_1^2-2z\mu_2+2y_1\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 \end{align*}$

Pero estoy atrapado en este punto.

EDITAR: Siguiendo las sugerencias en los comentarios, tomando y $\mu_1=\mu_2=0$ $\sigma_1^2=\sigma_2^2=1$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} [y_{1}^{2} + z^{2} - 2 z y_{1} + y_{1}^{2}]) Φ (λ y_{1}) d y_{1} \\ \int_{- \infty}^{\infty} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} y_{1}^{2}) Φ (λ y_{1}) \exp (- \frac{1}{2} (z - y_{1})^{2}) d y_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} &\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}[y_1^2+z^2-2zy_1+y_1^2]\Big)\Phi(\lambda y_1)dy_1 \\&\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}y_1^2\Big)\Phi(\lambda y_1) \exp\Big(-\frac{1}{2}(z-y_1)^2\Big)dy_1\end{align*}$

es oblicuo normal.

— kjetil b halvorsen
fuente

Probar un caso más simple de , reducirá bastante el desorden y te hará ver el bosque en lugar de los árboles.

μ_{1} = μ_{2} = 0

$\mu_1 = \mu_2 = 0$

σ_{1} = σ_{2} = 1

$\sigma_1 = \sigma_2 = 1$

— Dilip Sarwate

Creo que la sugerencia de Dilip es buena, pero es posible que desee verificar con cuidado su expansión del primer término cuadrático. (No solucionará su problema inmediato, pero al final importará)

— Glen_b -Reinstate Monica

Reparametrizando el sesgo en términos de y utilizando el mgf del sesgo normal (ver a continuación), ya que e son independientes, tiene mgf que es , el mgf de un sesgo normal con parámetros , y donde $\delta=\lambda/\sqrt{1+\lambda^2}$ $Y_1$ $Y_2$ $Z=Y_1 + Y_2$

\begin{aligned} M_{Z} (t) & = M_{Y_{1}} (t) M_{Y_{2}} (t) \\ = 2 e^{μ_{1} t + σ_{1}^{2} t^{2} / 2} Φ (σ_{1} δ t) e^{μ_{2} t + σ_{2}^{2} t^{2} / 2} \\ = 2 e^{(μ_{1} + μ_{2}) t + (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) t^{2} / 2} Φ (σ_{1} δ t) \\ = 2 e^{μ t + σ^{2} t^{2} / 2} Φ (σ δ^{'} t), \end{aligned}

$\begin{align} M_Z(t) &= M_{Y_1}(t)M_{Y_2}(t) \\ &= 2e^{\mu_1 t +\sigma_1^2 t^2/2}\Phi(\sigma_1\delta t)e^{\mu_2t +\sigma_2^2 t^2/2} \\ &= 2e^{(\mu_1+\mu_2)t + (\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}\Phi(\sigma_1 \delta t) \\ &= 2e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}\Phi(\sigma \delta' t), \end{align}$

μ = μ_{1} + μ_{2}

$\mu=\mu_1+\mu_2$

σ^{2} = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}

$\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$

σ δ^{'} = σ_{1} δ

$\sigma\delta'=\sigma_1\delta$

δ^{'}

$\delta'$ es el nuevo parámetro de sesgo. Por lo tanto, En la otra parametrización, el nuevo parámetro oblicuo se puede escribir, después de cierto álgebra, por ejemplo, como

δ^{'} = δ \frac{σ_{1}}{σ} = δ \frac{σ_{1}}{\sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} .

$\delta'=\delta\frac{\sigma_1}\sigma=\delta\frac{\sigma_1}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}.$

λ^{'}

$\lambda'$

λ^{'} = \frac{δ^{'}}{\sqrt{1 - δ^{' 2}}} = \frac{λ}{\sqrt{1 + \frac{σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2}} (1 + λ^{2})}} .

$\lambda' = \frac{\delta'}{\sqrt{1-\delta'^2}}=\frac{\lambda}{\sqrt{1 + \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}(1+\lambda^2)}}.$

El mgf de un sesgo normal normal se puede obtener de la siguiente manera: \ end {align} El mgf de un sesgo normal con parámetros de ubicación y escala

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E e^{t X} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{x t} 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} Φ (λ x) d x \\ = 2 \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 t x)} Φ (λ x) d x \\ = 2 \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} ((x - t)^{2} - t^{2})} Φ (λ x) d x \\ = 2 e^{t^{2} / 2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (x - t)^{2}} P (Z \leq λ x) d x, & where Z \sim N (0, 1) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (Z \leq λ U), & where U \sim N (t, 1) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (Z - λ U \leq 0) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} P (\frac{Z - λ U + λ t}{\sqrt{1 + λ^{2}}} \leq \frac{λ t}{\sqrt{1 + λ^{2}}}) \\ = 2 e^{t^{2} / 2} Φ (\frac{λ}{\sqrt{1 + λ^{2}}} t) . \end{aligned}

$\begin{align} M_X(t)&=Ee^{tX} \\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{xt}2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\Phi(\lambda x)dx \\ &=2\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x^2-2tx)}\Phi(\lambda x)dx\\ &=2\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12((x-t)^2-t^2)}\Phi(\lambda x)dx \\ &=2e^{t^2/2} \int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x-t)^2}P(Z\le \lambda x)dx, & \text{where }Z \sim N(0,1) \\ &=2e^{t^2/2} P(Z\le \lambda U), & \text{where }U \sim N(t,1)\\ &=2e^{t^2/2} P(Z - \lambda U \le 0) \\ &=2e^{t^2/2} P(\frac{Z - \lambda U +\lambda t}{\sqrt{1+\lambda^2}} \le \frac{\lambda t}{\sqrt{1+\lambda^2}}) \\ &=2e^{t^2/2}\Phi(\frac\lambda{\sqrt{1+\lambda^2}}t). \end{align}$

μ

$\mu$ y es entonces

σ

$\sigma$

M_{μ + σ X} (t) = E e^{(μ + σ X) t} = e^{μ t} M_{X} (σ t) = 2 e^{μ t + σ^{2} t^{2} / 2} Φ (\frac{λ}{\sqrt{1 + λ^{2}}} σ t) .

$M_{\mu + \sigma X}(t)=Ee^{(\mu+\sigma X)t} = e^{\mu t}M_X(\sigma t) = 2e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2}\Phi(\frac\lambda{\sqrt{1+\lambda^2}}\sigma t).$

— Jarle Tufto
fuente

No entiendo cómo obtienes esto ¿puedes darme más detalles?

δ^{'} = δ \frac{σ_{1}}{σ}

$\delta'=\delta\frac{\sigma_1}\sigma$

Simplemente iguala las cantidades que aparecen antes de y en el exponencial y en el argumento de la función para encontrar los nuevos parámetros.

t

$t$

t^{2}

$t^2$

Φ

$\Phi$

— Jarle Tufto