Cálculo de la expectativa condicional en


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Realmente no he visto ningún libro de probabilidad que calcule las expectativas condicionales, excepto σ-Álgebras generadas por una variable aleatoria discreta. Simplemente declaran la existencia de expectativa condicional, junto con sus propiedades, y lo dejan así. Me parece un poco molesto y estoy tratando de encontrar un método para calcularlo. Esto es lo que creo que "debería ser".

Dejar (Ω,F,μ) ser un espacio de probabilidad con GF una σ-álgebra. Dejarξ:ΩRser una variable aleatoria Nuestro objetivo es calcularE[ξ|G].

Reparar ωΩ, necesitamos calcular E[ξ|G](ω). DejarAG ser tal ωA. La intuición dice queE[ξ|A]=1μ(A)Aξ es una aproximación al valor de E[ξ|G](ω), siempre que, por supuesto, μ(A)0 que ahora asumimos.

La intuición también dice que, si podemos encontrar un evento más pequeño BA, con ωBy μ(B)0, entonces E[ξ|B] es una mejor aproximación de E[ξ|G](ω) que E[ξ|A].

De ahí la óptima aproximación de E[ξ|G](ω) debiera ser E[ξ|M] dónde MG, con ωM, y con la propiedad mínima . La propiedad mínima aquí es simplemente siAG con ωA, entonces MA.

Pero hay dos problemas:

(i) ¿Tal Mincluso existe? SiGes como máximo contable, esto es trivialmente cierto. Por lo tanto, supongamos queG es de hecho contable.

(ii) ¿Qué pasa si μ(M)=0, entonces E[ξ|M]¡es indefinido! En este caso asumiremos que podemos producir una secuencia de eventos.MnGtal que MnM y μ(Mn)>0.

La intuición dice que

E[ξ|G](ω)=limn1μ(Mn)Mnξ=limn1μ(Mn)Ωξ.1Mn

Como comprobación de la realidad, el teorema de la convergencia monótona implica:

Ωξ.1MnΩξ.1M=Ω0=0
La continuidad en la medida implica,
μ(Mn)μ(M)=0
Por lo tanto, nuestro límite es de forma indeterminada "00", que es lo que queremos.

1) ¿Este cálculo calculará correctamente la expectativa condicional?

2) ¿Cuáles son algunos supuestos sobre el espacio de probabilidad para que esto se mantenga?


2
Aparte: es un teorema bien conocido que ninguna álgebra sigma es contable, por lo que su (i) necesita alguna revisión, ya que básicamente se supone que es finito |G|.
Cardenal

@cardinal The σ-álgebra generada por una variable aleatoria simple será contable.
Nicolas Bourbaki

2
los σ-algebra de una variable aleatoria simple será finita, lo que en concierto con el resultado que mencioné anteriormente, simplifica significativamente su (i).
Cardenal

1
Deberías mirar la paradoja del borel
kjetil b halvorsen

Respuestas:


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Esto no responde a la pregunta, pero proporciona una especie de "contraejemplo". No del todo, pero aborda un problema potencial que puede tener lugar al usar su intuición para aproximar la aproximación condicional.

El libro de Brezniak, "Procesos estocásticos básicos", calcula el siguiente ejercicio de expectativa condicional a través de la definición formal. Rehice su ejemplo usando el 'método de aproximaciones' como se preguntó en la publicación original.


Considere el siguiente ejemplo. Ω=[0,1] con μ La medida estándar de Lebesgue.

Defina las variables aleatorias, ξ(ω)=2ω2 y η(ω)=1|2ω1|. Nosotros calcularemosE[ξ|η]. DadoωΩ, la expectativa condicional E[ξ|η](ω) debería ser igual a E[ξ|η=η(ω)]. Sin embargo, el evento(η=η(ω)) es el conjunto {ω,1ω}, que es de medida cero, y así [ξ|η=η(ω)] es indefinido.

Entonces aproximaremos el evento A={ω,1ω}. Elige un pequeñoε>0y construye el evento Aε=[ωε,ω+ε]{1ω}. Los eventosAε aproximado Ay enfoque A en el límite a medida que reducimos el ε. Además,μ(Aε)=2ε.

Calculamos, en el límite,

E[ξ|Aε]=12εωεω+ε2t2 dt2ω2
¡Pero esta es la respuesta incorrecta!

Sin embargo , si nos aproximamos porBε=[ωε,ω+ε][1ωε,1ω+ε] entonces,

E[ξ|Bε]=14ε{ωεω+ε2t2 dt+1ωε1ω+ε2t2 dt}ω2+(1ω)2
¡Cuál es la respuesta correcta!

¿Por qué un enfoque funciona y el otro no? Claramente, en la primera aproximación, los conjuntos de aproximaciónAω no pertenecía a la σ-álgebra generada por ξ. En la segunda aproximación, los conjuntos de aproximaciónBω pertenecía a σ(ξ).

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