Cálculo de la expectativa condicional en

Realmente no he visto ningún libro de probabilidad que calcule las expectativas condicionales, excepto $\sigma$ -Álgebras generadas por una variable aleatoria discreta. Simplemente declaran la existencia de expectativa condicional, junto con sus propiedades, y lo dejan así. Me parece un poco molesto y estoy tratando de encontrar un método para calcularlo. Esto es lo que creo que "debería ser".

Dejar $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ ser un espacio de probabilidad con $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ una $\sigma$ -álgebra. Dejar $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ ser una variable aleatoria Nuestro objetivo es calcular $E[\xi|\mathscr{G}]$ .

Reparar $\omega\in \Omega$ , necesitamos calcular $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ . Dejar $A\in \mathscr{G}$ ser tal $\omega\in A$ . La intuición dice que $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ es una aproximación al valor de $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ , siempre que, por supuesto, $\mu(A) \not = 0$ que ahora asumimos.

La intuición también dice que, si podemos encontrar un evento más pequeño $B\subseteq A$ , con $\omega\in B$ y $\mu(B) \not = 0$ , entonces $E[\xi|B]$ es una mejor aproximación de $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ que $E[\xi|A]$ .

De ahí la óptima aproximación de $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ debiera ser $E[\xi|M]$ dónde $M\in \mathscr{G}$ , con $\omega\in M$ , y con la propiedad mínima . La propiedad mínima aquí es simplemente si $A\in \mathscr{G}$ con $\omega\in A$ , entonces $M\subseteq A$ .

Pero hay dos problemas:

(i) ¿Tal $M$ incluso existe? Si $\mathscr{G}$ es como máximo contable, esto es trivialmente cierto. Por lo tanto, supongamos que $\mathscr{G}$ es de hecho contable.

(ii) ¿Qué pasa si $\mu(M) = 0$ , entonces $E[\xi|M]$ ¡es indefinido! En este caso asumiremos que podemos producir una secuencia de eventos. $M_n\in \mathscr{G}$ tal que $M_n \downarrow M$ y $\mu(M_n) > 0$ .

La intuición dice que

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

Como comprobación de la realidad, el teorema de la convergencia monótona implica:

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 = 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$ La continuidad en la medida implica,

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$ Por lo tanto, nuestro límite es de forma indeterminada "

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ ", que es lo que queremos.

1) ¿Este cálculo calculará correctamente la expectativa condicional?

2) ¿Cuáles son algunos supuestos sobre el espacio de probabilidad para que esto se mantenga?

— Nicolas Bourbaki
fuente

Aparte: es un teorema bien conocido que ninguna álgebra sigma es contable, por lo que su (i) necesita alguna revisión, ya que básicamente se supone que es finito

| G |

$|\mathcal{G}|$ .

— Cardenal

@cardinal The

σ

$\sigma$ -álgebra generada por una variable aleatoria simple será contable.

— Nicolas Bourbaki

los

σ

$\sigma$ -algebra de una variable aleatoria simple será finita, lo que en concierto con el resultado que mencioné anteriormente, simplifica significativamente su (i).

— Cardenal

Deberías mirar la paradoja del borel

— kjetil b halvorsen

Esto no responde a la pregunta, pero proporciona una especie de "contraejemplo". No del todo, pero aborda un problema potencial que puede tener lugar al usar su intuición para aproximar la aproximación condicional.

El libro de Brezniak, "Procesos estocásticos básicos", calcula el siguiente ejercicio de expectativa condicional a través de la definición formal. Rehice su ejemplo usando el 'método de aproximaciones' como se preguntó en la publicación original.

Considere el siguiente ejemplo. $\Omega = [0,1]$ con $\mu$ La medida estándar de Lebesgue.

Defina las variables aleatorias, $\xi(\omega) = 2\omega^2$ y $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ . Nosotros calcularemos $E[\xi|\eta]$ . Dado $\omega\in \Omega$ , la expectativa condicional $E[\xi|\eta](\omega)$ debería ser igual a $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ . Sin embargo, el evento $(\eta = \eta(\omega))$ es el conjunto $\{ \omega,1-\omega\}$ , que es de medida cero, y así $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ es indefinido.

Entonces aproximaremos el evento $A=\{\omega,1-\omega\}$ . Elige un pequeño $\varepsilon > 0$ y construye el evento $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ . Los eventos $A_{\varepsilon}$ aproximado $A$ y enfoque $A$ en el límite a medida que reducimos el $\varepsilon$ . Además, $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$ .

Calculamos, en el límite,

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$ ¡Pero esta es la respuesta incorrecta!

Sin embargo , si nos aproximamos por $B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$ entonces,

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$ ¡Cuál es la respuesta correcta!

¿Por qué un enfoque funciona y el otro no? Claramente, en la primera aproximación, los conjuntos de aproximación $A_{\omega}$ no pertenecía a la $\sigma$ -álgebra generada por $\xi$ . En la segunda aproximación, los conjuntos de aproximación $B_{\omega}$ pertenecía a $\sigma(\xi)$ .

— Nicolas Bourbaki
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