Realmente no he visto ningún libro de probabilidad que calcule las expectativas condicionales, excepto -Álgebras generadas por una variable aleatoria discreta. Simplemente declaran la existencia de expectativa condicional, junto con sus propiedades, y lo dejan así. Me parece un poco molesto y estoy tratando de encontrar un método para calcularlo. Esto es lo que creo que "debería ser".
Dejar ser un espacio de probabilidad con una -álgebra. Dejarser una variable aleatoria Nuestro objetivo es calcular.
Reparar , necesitamos calcular . Dejar ser tal . La intuición dice que es una aproximación al valor de , siempre que, por supuesto, que ahora asumimos.
La intuición también dice que, si podemos encontrar un evento más pequeño , con y , entonces es una mejor aproximación de que .
De ahí la óptima aproximación de debiera ser dónde , con , y con la propiedad mínima . La propiedad mínima aquí es simplemente si con , entonces .
Pero hay dos problemas:
(i) ¿Tal incluso existe? Sies como máximo contable, esto es trivialmente cierto. Por lo tanto, supongamos que es de hecho contable.
(ii) ¿Qué pasa si , entonces ¡es indefinido! En este caso asumiremos que podemos producir una secuencia de eventos.tal que y .
La intuición dice que
Como comprobación de la realidad, el teorema de la convergencia monótona implica:
1) ¿Este cálculo calculará correctamente la expectativa condicional?
2) ¿Cuáles son algunos supuestos sobre el espacio de probabilidad para que esto se mantenga?