Encontrar el PDF dado el CDF

23

¿Cómo puedo encontrar el PDF (función de densidad de probabilidad) de una distribución dada la CDF (función de distribución acumulativa)?

distributions pdf cdf

— Mehper C. Palavuzlar
fuente

77

No estoy seguro de entender la dificultad. Si se conoce la forma funcional, simplemente tome la derivada; de lo contrario, tome las diferencias. ¿Me estoy perdiendo de algo?

1

Supongo que la pregunta es sobre el caso multivariante.

— user1700890

23

Como dijo user28 en los comentarios anteriores, el pdf es la primera derivada del cdf para una variable aleatoria continua, y la diferencia para una variable aleatoria discreta.

En el caso continuo, donde el cdf tiene una discontinuidad, el pdf tiene un átomo. Las "funciones" delta de Dirac se pueden usar para representar estos átomos.

— Paul
fuente

Hay un bonito libro de texto en línea por Pishro-Nik aquí mostrando esta manera más explícita.

— 2015

¿Algo similar vale para el caso multivariante? (Encontré la respuesta aquí, página 9).

f (x) = \frac{\partial^{n} F (x)}{\partial x_{1} \dots \partial x_{n}}

$f(\mathbf x) = \frac{\partial^n F(\mathbf x)}{\partial x_1 \dots \partial x_n}$

— MInner

¿Le importaría dar un ejemplo de que un cdf tiene una discontinuidad?

— whnlp

10

Deje denotar el cdf; entonces siempre puede aproximar el pdf de una variable aleatoria continua calculando $F(x)$ dondeyestán a cada lado del punto donde desea conocer el pdf y la distanciaes pequeño.

\frac{F (X_{2}) - F (X_{1})}{X_{2} - X_{1}},

$\frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2 - x_1},$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

| x_{2} - x_{1} |

$|x_2 - x_1|$

— seancarmody
fuente

1

Es lo mismo que tomar la derivada, pero es más impreciso, ¿por qué lo harías?

— Matti Pastell

66

Este sería el enfoque cuando el CDF solo se aproxima empíricamente. Sin embargo, ofrece estimaciones pésimas del PDF.

— shabbychef

Dados los valores de percentil CDF, ¿hay una mejor manera de calcular PDF a partir de estos valores discretos?

— bicepjai

En este caso, ¿todas las x de x1 a xn se ordenan primero en orden ascendente para que siempre sea xn> x (n-1)> x (n-2)>… ..x3> x2> x1?

— Eric

0

Diferenciar el CDF no siempre ayuda, considere la ecuación:

 F(x) = (1/4) + ((4x - x*x) / 8)    ...    0 <= x < 2,

Al diferenciarlo obtendrás:

((2 - x) / 4)

Sustituir 0 da valor (1/2), lo cual es claramente incorrecto, ya que P (x = 0) es claramente (1/4).

En cambio, lo que debe hacer es calcular la diferencia entre F (x) y lim (F (x - h)) ya que h tiende a 0 desde el lado positivo de (x).

— Soham Chakradeo
fuente