Probabilidad de que las personas no se enfrenten a su pareja en una mesa redonda

Si las parejas se sientan al azar en una mesa redonda, ¿cuál es la probabilidad de que nadie se siente frente a su pareja?

Si hay cuatro personas, la respuesta es 2/3.

Si hay seis, es 15/8, creo.

Después de eso, mi método paso a paso, completando todas las posibilidades y terminando con una suma de varios valores esperados, se vuelve bastante laborioso. Curiosamente, un enfoque intuitivo obtiene la respuesta correcta para 6 personas en forma de (4/5) x (2/3), pero estoy luchando por generalizar esto. ¿Existe un método ordenado que conduzca a una fórmula para el caso de 2n personas (n parejas)?

Análisis

Vamos a adivinar y luego mejorar sistemáticamente la suposición hasta que sea correcta.

Comience adivinando que la respuesta es . Por supuesto que está mal. Para ver qué tan incorrecto, etiquete a un compañero en cada par "Rojo" y al otro "Azul". Desde la perspectiva de cualquier individuo Rojo, existe una posibilidad de que su compañero (Azul) se siente frente a ellos. Debido a que hay individuos rojos, restemos de esa suposición inicial.$1$$1/(2n-1)$$n$$n\times 1/(2n-1)$

Pero espere, todavía no está del todo bien, porque todos los pares de parejas han sido contados dos veces. Si una pareja está sentada enfrente, quedan parejas, lugares, y desde el punto de vista de cualquier individuo Rojo, la posibilidad de que formen parte de una segunda pareja es . Por lo tanto, necesitamos volver a agregar .$n-1$$2n-2$$1/(2n-3)$$\binom{n}{2}\times 1/(2n-1)\times 1/(2n-3)$

Pero ahora tenemos menos contribuciones al resultado de triples de parejas, que debemos corregir. Y así sigue, hasta que finalmente hemos acomodado a todas las parejas en la fórmula. (Esto, por supuesto, es solo el Principio de Inclusión-Exclusión en acción). $n$

La fórmula resultante es

Cálculo

Para enteros positivos , la función hipergeométrica confluente de Kummer es un polinomio de grado en . De la transformación de Kummer$n$ ${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, z\right)$$n$$z$

es sencillo deducir que el valor límite de la probabilidad a medida que crece es . La convergencia es lenta: debes multiplicar por para obtener un dígito decimal adicional. Sin embargo, los valores precisos (doble precisión) se pueden calcular rápidamente para cualquier al notar que los términos en la suma de la izquierda de crecen más lentamente que las potencias de . Por lo tanto, en el momento alcanza , los nuevos valores serán esencialmente cero en comparación con (y, de hecho, un análisis más detallado sugiere que parar la suma por$n$$e^{-1/2} \approx 0.6065306597\ldots$$n$$10$$n$$(1)$$-1/2$$i$$52$$e^{-1/2}$$i=45$ trabajará).

Esta fórmula se descompondrá durante más de 10,000,000 en ciertos entornos informáticos debido a la imprecisión en la función de registro Gamma. El problema surge de la cancelación de las diferencias que surgen al calcular los términos de la serie. Se puede encontrar una aproximación excelente a esas diferencias cuando es suficientemente grande en términos de , donde es la derivada de (la función digamma ). Eso se implementa en el siguiente código, con un ligero costo en tiempo de cálculo.$n$$n$$\psi(n-1/4)$$\psi$$\log \Gamma$

Implementación

El siguiente Rcódigo calcula unos 20,000 valores de doble precisión por segundo.

f <- function(n) {
  h <- function(n) {
    ifelse(n < 1e6, lfactorial(n) - lfactorial(n-1/2), digamma(n+3/4)/2)
  }
  m <- min(n, 46)
  k <- 0:m
  x <- exp(h(n) - h(n-k) - lfactorial(k) - k*log(2)) * (-1)^k
  sum(x)
}

Como ejemplo, rastreemos qué tan cerca se log(f(n))encuentra su valor límite de para grande . Como se afirmó anteriormente, cada factor de en agrega un lugar decimal de precisión limitante. Por lo tanto, veamos el lugar decimal en el logaritmo de la relación de a , para potencias enteras de desde hasta :$-1/2$$n$$10$$n$$n^\text{th}$$f(n)$$e^{-1/2}$$10$$n=10^1$$n=10^{14}$

> round(sapply(1:14, function(n) 10^n * (log(f(10^n)) + 1/2)), 3)

[1] -0.255 -0.251 -0.250 ... -0.250 -0.249 -0.249 -0.400

(Se han omitido siete valores del medio, todos iguales a -0.250). El patrón constante es claro. Al final, con , comienza a descomponerse, lo que indica pérdida de precisión. Mejorar esto probablemente requeriría aritmética de alta precisión.$n=10^{14}$

¿Por qué funcionaría el método intuitivo?

Piense en la mesa como una colección de pares; es decir, en lugar de la tradicional cruz noroeste-este-sur de una mesa de puente, la vemos como una mesa con dos filas:

Norte Sur

Oeste-este

Si condicionamos que North sea el socio principal de una pareja, entonces existe una tercera oportunidad de que South sea el socio menor de esa pareja, lo que luego obliga a West y East a ser una pareja, y una tercera tercera oportunidad de que South será miembro de la otra pareja, y luego el último set definitivamente tampoco es una pareja.

Cuando extendemos de a , simplemente agregamos una fila a la tabla:$n=2$$n=3$

Noroeste-Sureste

Norte Sur

Oeste-este

Si establecemos que Northwest es siempre el socio principal de la primera pareja, entonces existe una clara posibilidad de que haya una pareja emparejada y podamos detenernos, y una posibilidad de que no existe, y podemos continuar, con un problema menor .$\frac{1}{5}$$\frac{4}{5}$

Sin embargo, tenga en cuenta que el problema más pequeño es diferente , que es 'coincidentemente' igual. En lugar de tener cuatro personas y dos parejas entrando en el problema, debemos tener una pareja y dos solteros, y la posibilidad de que la pareja esté emparejada es (por las mismas razones que antes).$\frac{1}{3}$

Esto nos da un enfoque recursivo; Podemos hablar sobre un problema con dos parámetros, , donde refiere al número de personas refiere al número de parejas. Entonces nos da (es decir, cuatro parejas con 8 personas nos dan una probabilidad fra de falla al asignar la primera pareja, y luego la posibilidad de fracaso para 2 parejas y 6 personas en el caso en que sobrevivimos), y luego para necesitamos expandir cuatro casos:$(n,c)$$n$$c$$(8,4)$$\frac{6}{7}(6,2)$$\frac{1}{7}$$(6,2)$

1. Las dos parejas siguientes son solteras:$\frac{2*1}{6*5}(4,2)$

2. Uno era soltero, el otro estaba en pareja:$\frac{4*2*2}{6*5}(4,1)$

3. Ambos estaban en parejas diferentes: (Tenga en cuenta que , por razones obvias).$\frac{4*2}{6*5}(4,0)$$(4,0)=1$

4. Ambos estaban en la misma pareja: (Esta es una condición de pérdida)$\frac{4*1}{6*5}$

Si revisa y hace todos los cálculos, creo que termina con para el caso de 8 personas, que no es . (Es mayor debido a la posibilidad de que separemos totalmente a las parejas desde el principio)$\frac{20}{35}$ $\frac{6}{7}\frac{8}{15}$

No conozco un truco inmediato que le permita usar una fórmula combinatoria para obtener una respuesta en forma cerrada, pero parece probable que pueda haber una. [editar: Ver la respuesta de whuber para la solución.]