¿Por qué hay un valor R ^ 2 (y qué lo determina) cuando lm no tiene variación en el valor predicho?

Considere el siguiente código R:

example <- function(n) {
    X <- 1:n
    Y <- rep(1,n)
    return(lm(Y~X))
}
#(2.13.0, i386-pc-mingw32)
summary(example(7))    #R^2 = .1963
summary(example(62))   #R^2 = .4529
summary(example(4540)) #R^2 = .7832
summary(example(104))) #R^2 = 0
#I did a search for n 6:10000, the result for R^2 is NaN for
#n = 2, 4, 16, 64, 256, 1024, 2085 (not a typo), 4096, 6175 (not a typo), and 8340 (not a typo)

Mirar http://svn.r-project.org/R/trunk/src/appl/dqrls.f ) no me ayudó a entender lo que está sucediendo, porque no conozco Fortran. En otra pregunta , se respondió que los errores de tolerancia de máquina de coma flotante eran los culpables de los coeficientes para X que están cerca, pero no del todo 0.

es mayor cuando el valor deestá más cerca de 0. Pero ...$R^2$coef(example(n))["X"]

1. ¿Por qué hay un valor ? $R^2$
2. ¿Qué (específicamente) lo está determinando?
3. ¿Por qué la progresión aparentemente ordenada de los NaNresultados?
4. ¿Por qué las violaciones de esa progresión?
5. ¿Qué de esto es el comportamiento 'esperado'?

Como dice Ben Bolker, la respuesta a esta pregunta se puede encontrar en el código para summary.lm().

Aquí está el encabezado:

function (object, correlation = FALSE, symbolic.cor = FALSE, 
    ...) 
{

Entonces, x <- 1:1000; y <- rep(1,1000); z <- lm(y ~ x)eche un vistazo a este extracto ligeramente modificado:

    p <- z$rank
    rdf <- z$df.residual
    Qr <- stats:::qr.lm(z)
    n <- NROW(Qr$qr)
    r <- z$residuals
    f <- z$fitted.values
    w <- z$weights
    if (is.null(w)) {
        mss <- sum((f - mean(f))^2)
        rss <- sum(r^2)
    }
    ans <- z[c("call", "terms")]
    if (p != attr(z$terms, "intercept")) {
        df.int <- 1L
        ans$r.squared <- mss/(mss + rss)
        ans$adj.r.squared <- 1 - (1 - ans$r.squared) * ((n - 
            df.int)/rdf)
    }

$0.4998923$

Para responder una pregunta con una pregunta: ¿qué extraemos de esto? :)

mssrss$R^2$mssrss0/0NaN2^(1:k)

Actualización 1: Aquí hay un buen hilo de R-help que aborda algunas de las razones por las cuales las advertencias de subflujo no se abordan en R.

Además, este SO Q&A tiene una serie de publicaciones interesantes y enlaces útiles sobre flujo inferior, aritmética de mayor precisión, etc.

Tengo curiosidad acerca de su motivación para hacer la pregunta. No puedo pensar en una razón práctica por la que este comportamiento debería importar; La curiosidad intelectual es una razón alternativa (y la OMI mucho más sensata). Creo que no necesita comprender FORTRAN para responder esta pregunta, pero creo que necesita saber sobre la descomposición de QR y su uso en la regresión lineal. Si lo trata dqrlscomo un cuadro negro que calcula una descomposición QR y devuelve información diversa al respecto, entonces puede seguir los pasos ... o simplemente ir directamente summary.lmy rastrear para ver cómo se calcula el R ^ 2. En particular:

mss <- if (attr(z$terms, "intercept")) 
          sum((f - mean(f))^2)
       else sum(f^2)
rss <- sum(r^2)
## ... stuff ...
ans$r.squared <- mss/(mss + rss)

Luego debe volver a lm.fitver que los valores ajustados se calculan como r1 <- y - z$residuals(es decir, como la respuesta menos los residuos). Ahora puede averiguar qué determina el valor de los residuos y si el valor menos su media es exactamente cero o no, y a partir de ahí averiguar los resultados computacionales ...

$R^2$$R^2 = 1-\frac{\textrm{SS}_{err}}{\textrm{SS}_{tot}}$