Ley de la expedición total / regla de la torre: ¿Por qué ambas variables aleatorias deben provenir del mismo espacio de probabilidad?

Cito (el énfasis es mío) de la definición de Wikipedia :

La proposición en la teoría de probabilidad conocida como la ley de la expectativa total, ..., establece que si X es una variable aleatoria integrable (es decir, una variable aleatoria que satisface E (| X |) <∞) e Y es cualquier variable aleatoria, no necesariamente integrable, en el mismo espacio de probabilidad , entonces
$E (X) = E (E (X ∣ Y))$ $\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$

No entiendo lo que quieren decir con el mismo espacio de probabilidad, y no sé por qué esta es una parte importante de la definición. Tome el ejemplo más abajo en la página:

Supongamos que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas Factory X funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las bombillas Factory Y funcionan durante un promedio de 4000 horas. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el período de tiempo esperado que funcionará una bombilla comprada?

Las variables aleatorias aquí parecen ser:

La cantidad de tiempo que dura una bombilla.
De qué fábrica proviene una bombilla.

¿Cómo pueden estos dos tener el mismo espacio de probabilidad?

probability expected-value conditional-expectation

— Alex
fuente

¿Cómo tiene sentido si las variables aleatorias se definen en diferentes espacios de probabilidad?

E (X | Y)

$E(X|Y)$

— whuber

No sé, sospecho intuitivamente? Dado aquí, sé y , ¿no veo de qué tiene sentido?

E (T | F = X) = 5000

$\operatorname{E}(T | F = X) = 5000$

E (T | F = Y) = 4000

$\operatorname{E}(T | F = Y) = 4000$

— Alex

¿Tal vez esta pregunta realmente encajaría más en math.stackexchange, ya que es de naturaleza algo teórica de probabilidad?

— Dean Gurvitz

No entiendo lo que quieren decir con el mismo espacio de probabilidad.

Ese es el problema.

La forma estándar de pensar en los objetos de la teoría de la probabilidad (variables aleatorias, distribuciones, etc.) es a través de los axiomas de Kolmogorov . Estos axiomas están enmarcados en el lenguaje de la teoría de la medida , pero es muy posible comprender casos simples sin ninguna teoría de la medida.

Básicamente, un modelo de probabilidad consta de tres cosas: un conjunto , cuyos elementos individuales se pueden considerar como un resumen del "verdadero estado del mundo" (o al menos todo lo que necesita saber al respecto); una colección de subconjuntos de (cuyos elementos son los posibles eventos cuya probabilidad puede necesitar medir); y una medida de probabilidad , que es una función que toma un evento y escupe un número (cuya interpretación es la probabilidad de que ocurra el evento ). El triple se conoce como espacio de probabilidad $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\Omega$ $P$ $E \in \mathcal{F}$ $P(E) \in [0, 1]$ $E$ $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ siempre que satisfaga ciertas propiedades naturales (por ejemplo, la probabilidad de una unión de innumerables eventos disjuntos es la suma de sus probabilidades).

En este marco, una variable aleatoria es una función de a . En su ejemplo, tenemos dos variables aleatorias: (la cantidad de tiempo que dura una bombilla) y (de qué fábrica proviene una bombilla). $X$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $T$ $F$

¿Cómo pueden estos dos tener el mismo espacio de probabilidad?

La pregunta ahora es: ¿cómo definimos un espacio de probabilidad y las funciones de tal manera que modele el problema bajo consideración. Hay muchas formas, pero una simple es dejar que . Un elemento especifica una bombilla particular (no aleatoria) de fábrica que durará por el tiempo . Entonces definiríamos y . La distribución conjunta de se define entonces especificando y . $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $T, F : \Omega \to \mathbb{R}$ $\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$ $(f, t) \in \Omega$ $f$ $t$ $T(f, t) = t$ $F(f, t) = f$ $(T, F)$ $\mathcal{F}$ $P$

No entiendo ... por qué esta es una parte importante de la definición

La expectativa condicional de una variable aleatoria dada otra variable aleatoria se define a sí misma como un tipo de variable aleatoria que satisface ciertas propiedades. Puede encontrar la definición formal aquí , sin embargo, puede parecer bastante arcano si no está familiarizado con la probabilidad teórica de la medida. Básicamente, esta definición no tiene sentido si e no están definidos en el mismo espacio de probabilidad. Sin embargo, en última instancia, generalmente no es problemático definir dos variables aleatorias en un espacio de probabilidad común, por lo que esta condición equivale a un tecnicismo. $E[X \mid Y]$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Ben
fuente

Según su respuesta, parece que en el caso ingenuo y contable de funciones de masa de probabilidad, etc., el requisito de que ambas variables sean del mismo espacio de probabilidad es realmente innecesario. La definición que hizo de un espacio de probabilidad donde los eventos son en realidad pares de cantidades parece bastante forzada en tal caso.

— Dean Gurvitz el