Las splines se usan en modelos de regresión para modelar formas funcionales posiblemente no complejas y complejas. Una tendencia suavizada de spline consiste en polinomios continuos por partes cuyo coeficiente principal cambia en cada punto de ruptura o nudo. La spline se puede especificar en términos del grado polinómico de la tendencia, así como los puntos de corte. Una representación spline de una covariable extiende un solo vector de valores observados en una matriz cuya dimensión es el grado polinómico más el número de nudos.
Una versión periódica de splines es simplemente una versión periódica de cualquier regresión: los datos se cortan en réplicas de la duración del período. Entonces, por ejemplo, modelar una tendencia diurna en un experimento de varios días en ratas requeriría un tiempo de grabación del experimento en incrementos de 24 horas, por lo que la hora 154 sería el valor del módulo 24 de 10 (154 = 6 * 24 + 10). Si ajusta una regresión lineal en los datos de corte, estimaría una forma de onda de diente de sierra para la tendencia. Si ajusta una función de paso en algún punto del período, sería una forma de onda cuadrada que se ajuste a la serie. La spline es capaz de expresar una wavelet mucho más sofisticada. Por lo que vale, en el splines
paquete, hay una función periodicSpline
que hace exactamente esto.
pagnortekpagp + ii ≤ nkSp + i= ( X- kyo)pagyo( X< kyo)k
myspline <- function(x, degree, knots) {
knots <- sort(knots)
val <- cbind(x, outer(x, knots, `-`))
val[val < 0] <- 0
val <- val^degree
if(degree > 1)
val <- cbind(outer(x, 1:{degree-1}, `^`), val)
colnames(val) <- c(
paste0('spline', 1:{degree-1}, '.1'),
paste0('spline', degree, '.', seq(length(knots)+1))
)
val
}
2 πτ
x <- seq(0, 2*pi, by=pi/2^8)
y <- sin(x)
plot(x,y, type='l')
s <- myspline(x, 2, pi)
fit <- lm(y ~ s)
yhat <- predict(fit)
lines(x,yhat)
Verás que son bastante concordantes. Además, la convención de nomenclatura permite la interpretación. En la salida de regresión ves:
> summary(fit)
Call:
lm(formula = y ~ s)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.04564 -0.02050 0.00000 0.02050 0.04564
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.033116 0.003978 -8.326 7.78e-16 ***
sspline1.1 1.268812 0.004456 284.721 < 2e-16 ***
sspline2.1 -0.400520 0.001031 -388.463 < 2e-16 ***
sspline2.2 0.801040 0.001931 414.878 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.02422 on 509 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9988, Adjusted R-squared: 0.9988
F-statistic: 1.453e+05 on 3 and 509 DF, p-value: < 2.2e-16
π/ 2
Asumiré que conoce la periodicidad de los datos disponibles. Si los datos carecen de un componente de crecimiento o promedio móvil, puede transformar una serie de tiempo larga en réplicas de una serie corta de una duración de 1 período. Ahora tiene réplicas y puede usar el análisis de datos para estimar la tendencia recurrente.
Supongamos que genero las siguientes series de tiempo algo ruidosas y muy largas:
x <- seq(1, 100, by=0.01)
y <- sin(x) + rnorm(length(x), 0, 10)
xp <- x %% (2*pi)
s <- myspline(xp, degree=2, knots=pi)
lm(y ~ s)
El resultado resultante muestra un rendimiento razonable.
> summary(fit)
Call:
lm(formula = y ~ s)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-39.585 -6.736 0.013 6.750 37.389
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.48266 0.38155 -1.265 0.205894
sspline1.1 1.52798 0.42237 3.618 0.000299 ***
sspline2.1 -0.44380 0.09725 -4.564 5.09e-06 ***
sspline2.2 0.76553 0.18198 4.207 2.61e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 9.949 on 9897 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.006406, Adjusted R-squared: 0.006105
F-statistic: 21.27 on 3 and 9897 DF, p-value: 9.959e-14