El OP dice
El teorema del límite central establece que la media de las variables iid, cuando N va al infinito, se distribuye normalmente.
Tomaré esto para significar que es la creencia del OP que para iid variables aleatorias con media μ y desviación estándar σ , la función de distribución acumulativa F Z n ( a ) de
Z n = 1XiμσFZn(a)
converge a la función de distribución acumulativa deN(μ,σ), una variable aleatoria normal con mediaμy desviación estándarσ. O bien, el OP considera reordenamientos menores de esta fórmula, por ejemplo, la distribución deZn-μconverge a la distribución deN(0,σ), o la distribución de(Zn-μ)/σ
Zn=1n∑i=1nXi
N(μ,σ)μσZn−μN(0,σ)(Zn−μ)/σconverge a la distribución de
, la variable aleatoria normal estándar. Tenga en cuenta como ejemplo que estas declaraciones implican que
P { | Z n - μ | > σ } = 1 - F Z n ( μ + σ ) + F Z n ( ( μ + σ ) - ) → 1 - Φ ( 1 ) + Φ (N(0,1)
como
n → ∞ .
P{|Zn−μ|>σ}=1−FZn(μ+σ)+FZn((μ+σ)−)→1−Φ(1)+Φ(−1)≈0.32
n→∞
El OP continúa diciendo
Esto plantea dos preguntas:
- ¿Podemos deducir de esto la ley de los grandes números? Si la ley de los números grandes dice que la media de una muestra de valores de una variable aleatoria es igual a la media verdadera μ cuando N va al infinito, entonces parece aún más fuerte decir que (como dice el límite central) que el valor se convierte en N ( μ, σ) donde σ es la desviación estándar.
La ley débil de los números grandes dice que para iid variables aleatorias
con media finita μ , dado cualquier ϵ > 0 ,
P { | Z n - μ | > ϵ } → 0 como n → ∞ .
Tenga en cuenta que no es necesario suponer que la desviación estándar es finita.Xiμϵ>0
P{|Zn−μ|>ϵ}→0 as n→∞.
Entonces, para responder la pregunta del OP,
n→∞P{|Zn−μ|>σ}→0.317⋯P{|Zn−μ|>σ}→0
A partir de una declaración correcta del teorema del límite central, en el mejor de los casos se puede deducir solo una forma restringida de la ley débil de los números grandes que se aplican a variables aleatorias con media finita y desviación estándar. Pero la ley débil de los grandes números también se aplica a las variables aleatorias, como las variables aleatorias de Pareto con medias finitas pero desviación estándar infinita.
No entiendo por qué decir que la media muestral converge a una variable aleatoria normal con desviación estándar distinta de cero es una afirmación más fuerte que decir que la media muestral converge a la media poblacional, que es una constante (o una variable aleatoria con desviación estándar cero si te gusta).