Correlación entre seno y coseno

Supongamos que se distribuye uniformemente en . Let y . Demuestre que la correlación entre y es cero. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Parece que necesitaría saber la desviación estándar del seno y el coseno, y su covarianza. ¿Cómo puedo calcular estos?

Creo que necesito suponer que tiene una distribución uniforme, y la mirada a las variables transformadas y . Entonces la ley del estadístico inconsciente daría el valor esperado $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ y

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(la densidad es constante ya que es una distribución uniforme y, por lo tanto, se puede sacar de la integral).

Sin embargo, esas integrales no están definidas (pero creo que tienen valores principales de Cauchy de cero).

¿Cómo podría resolver este problema? Creo que conozco la solución (la correlación es cero porque el seno y el coseno tienen fases opuestas) pero no puedo encontrar cómo derivarla.

— uklady
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Como se dijo, su problema no está suficientemente definido. La correlación es un concepto que se aplica a variables aleatorias, no a funciones. (Formalmente, una variable aleatoria es un tipo de función, es decir, una función medible desde un espacio de probabilidad hasta los números reales equipados con la medida de Borel. Pero solo decir "la función seno" no le dice nada sobre la medida de probabilidad en el dominio, que es lo que se obtiene información probabilística, incluyendo distribuciones conjuntas).

— Kodiologist

Si supongo que el tiempo es una variable aleatoria uniforme (

en mi texto), ¿no es posible hacer esto? Quiero decir que estaría mirando la correlación de dos variables aleatorias transformadas.

X

$X$

— uklady

Entonces, ¿quieres

distribuido uniformemente y luego definir

? Eso está bien, excepto que también necesita especificar el soporte de la densidad de

, ya que no hay una distribución uniforme en el conjunto de , o cualquier otro intervalo infinitamente largo.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiólogo

Tal vez podría tomar como soporte (estaría asumiendo que , entonces el intervalo contiene un ciclo completo). Supongo que los problemas de integración también se desvanecerán

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Si hace eso, solo necesita dibujar un diagrama de dispersión; no es necesaria la integración. Ese diagrama de dispersión es una distribución uniforme en el círculo unitario (obviamente). Dado que el círculo es simétrico bajo cualquier reflexión a través del origen, la correlación es igual a su negativa, por lo que debe ser cero, QED .

— whuber

Ya que

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

la correlación también debe ser 0.

— Kodiólogo
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Realmente me gusta el argumento de @ whuber por simetría y no quiero que se pierda como comentario, así que aquí hay un poco de elaboración.

Considere el vector aleatorio , donde e , para . Entonces, como parametriza el círculo unitario por la longitud del arco, se distribuye uniformemente en el círculo unitario. En particular, la distribución de es la misma que la distribución de . Pero entonces $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

entonces debe ser que . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Solo un hermoso argumento geométrico.

— Matthew Drury
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