Expectativa de una función de una variable aleatoria de CDF

¿Es posible calcular la expectativa de una función de una variable aleatoria con solo el CDF del rv? Digamos que tengo una función que tiene la propiedad y la única información que tengo sobre la variable aleatoria es el CDF. $g(x)$ $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$

Por ejemplo, tengo un escenario donde hay tres temporizadores que pueden modelarse como variables aleatorias exponenciales con parámetros de velocidad respectivamente. Por cada momento en el tiempo gano una recompensa de acuerdo con alguna función de recompensa . Es decir, mi recompensa por esperar hasta el momento puede escribirse como . Sin embargo, experimenta rendimientos decrecientes, por lo que la recompensa marginal recibida por esperar un segundo en es mayor que un segundo en decir . Este 'juego' termina cuando sucede una de dos cosas. Ambos temporizadores o $X_1,X_2,X_3$ $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ $g(x)$ $t$ $\int_0^tg(x)dx$ $g(x)$ $t=0$ $t=27$ $X_1$ $X_2$ debe sonar o los temporizadores o deben sonar. Estoy tratando de encontrar la recompensa esperada de jugar este juego. $X_1$ $X_3$

Actualmente puedo calcular el CDF de la variable aleatoria modelando el tiempo hasta que finalice el juego, pero no sé cómo usar esta información para cuando lo que realmente necesito es una recompensa asociada con este tiempo.

Hasta ahora tengo las variables aleatorias adicionales: También deje que denote el CDF de El CDF de , puede escribirse como:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Sé que cuando una variable aleatoria toma valores no negativos, puede usar un atajo para calcular la expectativa usando el CDF. Es decir, . ¿Hay algo similar que pueda usar para una función de una variable aleatoria, o es necesario calcular el pdf de primero para calcular $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value

— CocoBandit
fuente

¿Qué quiere decir con "solo" información? ¡El CDF le dice todo sobre el RV que podría estar relacionado con las expectativas! Parece que su problema subyacente podría tener que ver con la forma computacional en la que se le entrega el CDF. Por favor explique sus circunstancias. Por cierto, puede ser indefinido o infinito incluso cuando la integral dees finito

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

— whuber

Creo que está buscando la integración por partes en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

— seanv507

Cuando es la CDF de una variable aleatoria y es una función (medible), la expectativa de se puede encontrar como una integral de Riemann-Stieltjes $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Esto expresa la Ley del Estadístico Inconsciente.

Si también es diferenciable, escriba e integre por partes para obtener $g$ $dF = -d(1-F)$

mi (sol (X)) = - sol (X) (1 - F (X)) {El |}_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (X)) {sol}^{'} (X) re X

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

siempre que ambos sumandos converjan. Esto significa varias cosas, que pueden expresarse simplemente rompiendo la integral en algún valor finito definido como : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ y existen y son finitas. Si es así, el primer agregado es la diferencia de estos dos. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ y existen y son finitas. Si es así, el segundo suma es la suma de estos dos. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Un buen lugar para romper la integral es en cualquier cero de , porque - siempre que finalmente disminuya lo suficientemente rápido para grandes--que hace que el primer sumando desaparezca, dejando solo la integral de contra la función de supervivencia . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Ejemplo

La expectativa de una variable no negativa se obtiene aplicando la fórmula a la función de identidad para la cual y utilizando el hecho de que la integración puede comenzar en cero: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

mi (X) = - X (1 - F (X)) {El |}_{0 0}^{\infty} + \int_{0 0}^{\infty} (1 - F (X)) re X .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

Siempre (es decir, la función de supervivencia no tiene una cola demasiado pesada), el límite superior del primer término se desvanece. Su límite inferior obviamente se desvanece. Solo nos queda la integral, dando la expresión en la pregunta. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

— whuber
fuente

Gracias, esto se ve exactamente como quería. Solo necesito leer sobre mi integración Riemann-Stieltjes ahora.

— CoconutBandit

En su aplicación, debido a que es continuamente diferenciable en todas partes excepto en , puede dividir la integral en en dos integrales de Riemann e ignorar las complicaciones por completo.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

— whuber

¿Qué quieres decir con 'complicaciones'? Además, en su segundo punto, ¿debería be ? Si no, ¿por qué cambió a ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

— CoconutBandit

(1) Gracias, esos primos necesitaban estar allí. (2) "Complicaciones" se refiere a la necesidad de la integral de Riemann-Stieltjes en lugar de la integral de Riemann.

— whuber

Utiliza tres reglas básicas de diferenciación: la regla de la suma, la regla del producto y el hecho de que las constantes tienen cero derivadas.

— whuber