¿La suma de dos variables es independiente de una tercera variable, si es que son independientes?

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Dadas 3 variables aleatorias , y . y son independientes. y son independientes. Intuitivamente supondría que y son independientes. ¿Es este el caso y cómo puedo probarlo formalmente? $X_1$ $X_2$ $Y$ $Y$ $X_1$ $Y$ $X_2$ $Y$ $X_1+X_2$

independence

— matthiash
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Es posible construir X1, X2, Y de manera que se cumplan las condiciones anteriores, pero Y es una función de Z = (X1, X2): math.stackexchange.com/questions/1712177/… Contradice la declaración de respuesta: 'Y es independiente de Z '

— user233740

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EDITAR: Como señalaron otros usuarios, esta respuesta no es correcta porque supone que es independiente de $Y$ $(X_1,X_2)$

Tenga en cuenta que es una función de porque si toma obtendrá . $X_1 + X_2$ $Z = (X_1,X_2)$

f (x, y) = x + y

$f(x,y) = x+y$

X_{1} + X_{2} = f (Z)

$X_1 + X_2 = f(Z)$

Es un teorema de probabilidad bien conocido que si y $R_1$ $R_2$ son variables aleatorias independientes y $f_1$ y $f_2$ son funciones medibles entonces $f_1(R_1)$ es independiente de $f_2(R_2)$ (Teorema 10.4 de "Probabilidad: un curso de posgrado" 2ª ed. De Allan Gut).

Ya que $f$ es medible e Y es independiente de $Z$ lo sabemos $Y$ también es independiente de $f(Z) = X_1 + X_2$ . Tenga en cuenta que tomamos $f_1$ como la función de identidad y $f_2 = f$ .

— Mur1lo
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Esta respuesta supone

Y

$Y$ es independiente de

(X_{1}, X_{2})

$(X_1,X_2)$ pero la pregunta solo supone que

Y

$Y$ es independiente de cada uno de los

X_{i} .

$X_i.$

— whuber

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(Para completar este hilo, estoy elevando un comentario del usuario233740 a una respuesta).

La afirmación no es cierta.

La posibilidad de que $X_1+X_2$ podría no ser independiente de $Y$ recuerda mucho el conocido problema de los libros de texto sobre variables aleatorias trivariadas $(X_1,X_2,Y)$ que son independientes por pares pero no independientes. Con ese pensamiento en mente, consideremos el ejemplo más simple, el de seleccionar una de las filas de esta matriz de manera uniforme al azar:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

$\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}.$

Puede ver que dos columnas cualquiera determinan Bernoulli independiente $(1/2)$ variables, pero las tres no son independientes porque la tercera puede determinarse a partir de las otras dos.

Vamos a elegir dos de estas columnas, denotándolas $X_1$ y $X_2,$ y deja $Y$ Se el tercero. Observe que cuando $Y=0,$ $X_1+X_2$ es cualquiera $0$ o $2$ (con igual probabilidad), pero cuando $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$ Por lo tanto, la función de probabilidad condicional

Pr (X_{1} + X_{2} ∣ Y)

$\Pr(X_1+X_2\mid Y)$ no es constante, lo que demuestra que e no son independientes.

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

Y

$Y$

— whuber
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