He leído sobre la paradoja de la apuesta de Blackwell en el armario de Futility . Aquí está el resumen: se le presentan dos sobres, y . Los sobres contienen una cantidad aleatoria de dinero, pero no sabe nada sobre la distribución del dinero. Abre uno, verifica cuánto dinero hay allí ( ) y tiene que elegir: tomar el sobre o ?
Futility Closet se refiere a un matemático llamado Leonard Wapner: "Inesperadamente, hay algo que puede hacer, aparte de abrir el otro sobre, para darse una oportunidad mejor que incluso de hacerlo bien".
La idea, que me parece incorrecta, es la siguiente: elegir un número aleatorio . Si , tome . Si , elija .
Wapner: “Si d cae entre x e y, entonces su predicción (como lo indica d) se garantiza que es correcta. Suponga que esto ocurre con probabilidad p. Si d cae menos que x e y, entonces su predicción será correcta solo en el caso de que su número elegido x sea el mayor de los dos. Hay un 50 por ciento de posibilidades de esto. Del mismo modo, si d es mayor que ambos números, su predicción será correcta solo si su número elegido es el menor de los dos. Esto ocurre con una probabilidad del 50 por ciento también ".
Si la probabilidad de que esté en es mayor que cero, entonces el éxito promedio de este método es . Esto significaría que al observar una variable aleatoria no relacionada nos da información adicional.
Creo que todo esto está mal y que el problema radica en elegir un número aleatorio de números enteros. Qué significa eso? Como, cualquier número entero? En ese caso, la probabilidad que encuentre entre e es cero, porque tanto como son finitas.d x y x y
Si decimos que hay un límite en la cantidad máxima de dinero, digamos , o al menos elegimos d de , entonces la receta se reduce al consejo trivial de elegir si y eligiendo si .1 ... M E y x < M / 2 E x x > M / 2
¿Echo de menos algo aquí?
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Bien, ahora empiezo a ver de dónde viene la aparente paradoja. Me pareció imposible que una variable aleatoria no relacionada pueda proporcionar información adicional.
Sin embargo, tenga en cuenta que debemos elegir conscientemente una distribución de d . Por ejemplo, elija los límites para una distribución uniforme, o de la distribución Poissionian, etc. Claramente, si estamos jugando por maní, y elegimos que la distribución de d sea uniforme en dólares, . Esta última probabilidad dependerá ante todo de nuestro juicio sobre lo que puede estar en los sobres.[ 10 9 , 2 ⋅ 10 9 ] P ( d ∈ ( x , y ) ) = 0
En otras palabras, si la técnica funciona, se viola la suposición de que no sabemos cuál es la distribución del dinero en los sobres (cómo se eligió la cantidad de dinero para los sobres). Sin embargo, si realmente no sabemos qué hay en los sobres, entonces, en el peor de los casos, no perdemos nada al aplicarlo.
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Otro pensamiento Dada , elija, para dibujar , una distribución continua no negativa tal que . Se nos permite hacer eso, ¿estoy en lo correcto? Procedemos según las instrucciones: si , conservamos el sobre, si , cambiamos el sobre. El razonamiento no cambia, dependiendo de cómo elijamos la distribución, puede ser que (¿o me equivoco?).d P ( d < x ) = P ( d > x ) d < x d > x P ( d ∈ [ x , y ] ) > 0
Sin embargo, dada la forma en que elegimos la distribución, lo que hacemos ahora es equivalente a un lanzamiento de moneda. Lanzamos una moneda, y si es cara, cambiamos los sobres, si son colas, nos pegamos al sobre que tenemos. Donde me equivoco
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OK, lo entiendo ahora. Si basamos la función de probabilidad de en (p. Ej., Tomamos muestras de de una distribución uniforme en el rango , entonces la probabilidad no es independiente de .x d ( 1 , 2 ⋅ x ) P ( d ∈ ( x , y ) ) P ( decisión correcta | d ∉ ( x , y ) )
Entonces, si (con probabilidad ), la suposición siempre es correcta, como antes. Sin embargo, si es el número más bajo y , entonces tiene una mayor probabilidad de ser menor que que ser mayor que , por lo que estamos predispuestos hacia una decisión incorrecta. Se aplica el mismo razonamiento cuando es el mayor de los dos números.p x d ∉ ( x , y ) d x x x
Eso significa que tenemos que elegir el proceso de dibujar independientemente de . En otras palabras, debemos adivinar los parámetros de distribución a partir de los cuales se extraen e ; Lo peor que sucede es que todavía adivinamos al azar, pero lo mejor es que nuestra suposición fue correcta, y luego tenemos una ventaja. Cómo debería ser esto mejor que adivinar "x e y, creo, será al menos 1 $ , pero como máximo 10 $ , así que si , lo conservamos, y si no, lo intercambiamos" Todavía estoy por ver.x x y x > 5
Fui engañado por la formulación pop-sci del problema en el libro de Wapner ( Expectativas inesperadas: las curiosidades de una bola de cristal matemática ), que establece
"De cualquier forma, seleccione un número entero aleatorio positivo" (Wapner sugiere una distribución geométrica - arrojando monedas hasta que salgan las primeras cabezas, repitiendo el proceso si ) "Si adivina más alto y si adivina más bajo. (...) ¡Adivinará correctamente más del 50 por ciento de las veces porque apunta correctamente más del 50 por ciento de las veces! "d > x d < x d