Relación entre el percentil y el intervalo de confianza (en una media)

Esta pregunta surgió en el trabajo cuando alguien me preguntó cuál era la relación entre un percentil y un intervalo de confianza, y me costó mucho articular mis pensamientos. El contexto era una pregunta muy simple con respecto a la estimación de un intervalo de confianza del 95% en una media muestral.

Entiendo que el teorema del límite central establece que la distribución muestral de la media de cualquier variable aleatoria independiente será normal o casi normal, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Por lo tanto, la media muestral tiene una distribución normal donde es la desviación estándar de la muestra.$N(\bar{x}, s/\sqrt{n})$$s$

Ahora, supongamos que la hipótesis nula $H_0: \mu_{\bar{x}} = \mu$ es cierta. Luego, bajo la hipótesis nula, el intervalo de confianza del 95% alrededor de la media muestral es $\mu_{\bar{x}} \pm 1.96 * s/\sqrt{n}$

La pregunta de mi compañero de trabajo fue específicamente la siguiente: el error estándar es solo la desviación estándar de la distribución muestral de la media. Por lo tanto, $\mu_{\bar{x}} + 1.96 * s/\sqrt{n}$ sería equivalente al percentil 97.5 de una distribución creada al calcular las medias muestrales de muchas muestras de tamaño $n$ ?

La pregunta fue realmente extraña para mí porque los percentiles y los intervalos de confianza son dos conceptos separados y la pregunta de mi compañero de trabajo era sobre la relación entre los dos, y me confundí mucho pero no pude articular mis puntos.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Su compañero de trabajo es correcto, los intervalos de confianza se basan en los percentiles de la distribución muestral de la estadística de interés. En este caso, la estadística es$\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum X_i$. Los percentiles de$X$ son diferentes.

Puede intentar realizar su experimento de dibujar muchos $\hat{\mu}_i$y calculando sus percentiles. Encontrará un buen acuerdo con la fórmula de la teoría normal siempre que$n$ para cada $\hat{\mu}_i$es lo suficientemente grande Y si sigue pensando en ello, puede terminar reinventando el bootstrap, que utiliza los percentiles observados de$X$ para generar muchos $\hat{\mu}_i$ y luego usa los percentiles de esta muestra generada para crear un intervalo de confianza.