¿Cómo se distribuye el mínimo de un conjunto de variables aleatorias?


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Si son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, ¿qué se puede decir sobre la distribución de en general?X1,...,Xnmin(X1,...,Xn)

Respuestas:


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Si el cdf de Xi se denota por F(x) , entonces el cdf del mínimo viene dado por 1[1F(x)]n .


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Si el CDF de Xi se denota por F(x) , entonces el CDF del mínimo viene dado por 1[1F(x)]n .

Razonamiento: dadas n variables aleatorias, la probabilidad P(Yy)=P(min(X1Xn)y) implica que al menos una Xi es menor que y .

La probabilidad de que al menos un Xi sea ​​menor que y es equivalente a uno menos la probabilidad de que todos los Xi sean mayores que y , es decir, P(Yy)=1P(X1>y,,Xn>y) .

Si las Xi son independientes distribuidas idénticamente, entonces la probabilidad de que todas las Xi sean mayores que y es [1F(y)]n . Por lo tanto, la probabilidad original es P(Yy)=1[1F(y)]n .

Ejemplo : diga , entonces intuitivamente la probabilidad debería ser igual a 1 (ya que el valor mínimo siempre sería menor que 1 desde para todo ). En este caso entonces la probabilidad es siempre 1.XiUniform(0,1)min(X1Xn)10Xi1iF(1)=1


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chl

Gracias por proporcionar el razonamiento. Tuve un problema con variables no idénticamente distribuidas, pero la lógica mínima todavía se aplicaba bien :)
Matchu

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Rob Hyndman dio la respuesta fácil y exacta para una n fija. Si está interesado en el comportamiento asintótico para n grande, esto se maneja en el campo de la teoría del valor extremo . Hay una pequeña familia de posibles distribuciones limitantes; véanse, por ejemplo, los primeros capítulos de este libro .


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Mi opinión es que este libro es EL libro sobre la teoría del valor
extremo

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Creo que la respuesta 1- (1-F (x)) ^ n es correcta en casos especiales. Los casos especiales son la condición de que pmf de rv se base en una fórmula para el dominio de rv. Si es diferente en varias partes del dominio, la fórmula mencionada anteriormente se desvía un poco de los resultados reales de la simulación.


@gung Entiendo por qué concluiría eso, pero esta respuesta no se aplica a la configuración IID de la pregunta: por lo tanto, aparece como un comentario (correcto y potencialmente interesante) a la pregunta en sí.
whuber

Depende de usted, @whuber, si desea convertir esto en un comentario, es su decisión.
gung - Restablece a Monica
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