Si son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, ¿qué se puede decir sobre la distribución de en general?
Si son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, ¿qué se puede decir sobre la distribución de en general?
Respuestas:
Si el cdf de se denota por , entonces el cdf del mínimo viene dado por .
Si el CDF de se denota por , entonces el CDF del mínimo viene dado por .
Razonamiento: dadas variables aleatorias, la probabilidad implica que al menos una es menor que .
La probabilidad de que al menos un sea menor que es equivalente a uno menos la probabilidad de que todos los sean mayores que , es decir, .
Si las son independientes distribuidas idénticamente, entonces la probabilidad de que todas las sean mayores que es . Por lo tanto, la probabilidad original es .
Ejemplo : diga , entonces intuitivamente la probabilidad debería ser igual a 1 (ya que el valor mínimo siempre sería menor que 1 desde para todo ). En este caso entonces la probabilidad es siempre 1.
Rob Hyndman dio la respuesta fácil y exacta para una n fija. Si está interesado en el comportamiento asintótico para n grande, esto se maneja en el campo de la teoría del valor extremo . Hay una pequeña familia de posibles distribuciones limitantes; véanse, por ejemplo, los primeros capítulos de este libro .
Creo que la respuesta 1- (1-F (x)) ^ n es correcta en casos especiales. Los casos especiales son la condición de que pmf de rv se base en una fórmula para el dominio de rv. Si es diferente en varias partes del dominio, la fórmula mencionada anteriormente se desvía un poco de los resultados reales de la simulación.