¿Qué hospital se debe elegir? Uno tiene una mayor tasa de éxito, pero el otro tiene una mayor tasa de éxito general

Tengo una pregunta sobre algo que mi profesor de estadística dijo sobre el siguiente problema. Mi pregunta ni siquiera es sobre la aparición de la paradoja de Simpson en esta situación. Mi pregunta es simplemente sobre la insistencia de mi profesor de que A) y D) son las respuestas correctas en lugar de A) y F). Él dijo:

"Debido a que la tasa de éxito es tan baja para las cirugías de Tipo E, podemos concluir que son difíciles y no solo poco comunes. Por lo tanto, Mercy probablemente tenga mejores equipos / médicos en comparación con Hope".

No entiendo cómo podría inferir estadísticamente que Mercy hace "cirugías más difíciles". Obviamente, Mercy tiene una mejor tasa de éxito en las cirugías de tipo E, pero ¿por qué esto significa que realizan "cirugías más difíciles"? Creo que la redacción de este problema me está fastidiando y el profesor no se está moviendo. ¿Alguien puede explicar por qué estoy equivocado o cómo puedo explicarle esto al profesor?

Hay dos hospitales llamados Mercy and Hope en tu ciudad. Debe elegir uno de estos para someterse a una operación. Decide basar su decisión en el éxito de sus equipos quirúrgicos. Afortunadamente, bajo el nuevo plan de salud, los hospitales brindan datos sobre el éxito de sus operaciones, desglosados ​​en cinco amplias categorías de operaciones. Suponga que obtiene los siguientes datos para los dos hospitales:

Mercy Hospital

Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366

Hope Hospital 

Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

Notará que, en todos los tipos de operaciones, Mercy tiene una tasa de éxito más alta que Hope, pero Hope tiene la tasa de éxito general más alta. ¿Qué hospital elegirías y por qué (elige dos respuestas)?

A) misericordia; Como iría a una operación específica, quiero el hospital que tenga la mejor tasa de éxito para esa operación.

B) esperanza; Como realizan menos operaciones en todas las categorías, no están "contentos con la operación" como Mercy.

C) esperanza; Este es un ejemplo de la paradoja de Simpson y siempre debemos elegir la conclusión "obvia".

D) misericordia; Al mirar la columna E, Mercy claramente realiza cirugías más difíciles y probablemente sea un mejor hospital.

E) esperanza; tiene la mejor tasa de éxito general.

F) misericordia; Este es un ejemplo de la paradoja de Simpson y siempre debemos elegir lo contrario de la conclusión "obvia".

Creo que A y E no son una buena combinación, porque A dice que debes elegir Mercy y E dice que debes elegir Hope.

A y D tienen la virtud de defender la misma opción. Pero, examinemos la línea de razonamiento en D con más detalle, ya que esa parece ser la confusión. La probabilidad de éxito para las cirugías sigue el mismo orden en ambos hospitales, siendo el tipo A el más probable de ser exitoso y el tipo E el menos probable. Si colapsamos (es decir, ignoramos) los hospitales, podemos ver que la probabilidad marginal de éxito para las cirugías es:

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

Debido a que es mucho menos probable que E tenga éxito, es razonable imaginar que es más difícil (aunque en el mundo real también existen otras posibilidades). Podemos extender esa línea de pensamiento a los otros cuatro tipos también. Ahora veamos qué proporción de las cirugías totales de cada hospital son de cada tipo:

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

Lo que notamos aquí es que Hope tiende a realizar más cirugías más fáciles AC (y especialmente B & C), y menos de las cirugías más difíciles como D. E es bastante poco común en ambos hospitales, pero, por lo que vale, Hope en realidad hace un mayor porcentaje Sin embargo, el efecto Paradox de Simpson será impulsado principalmente por BD aquí (no en realidad la columna E como sugiere la opción de respuesta D).

La paradoja de Simpson ocurre porque las cirugías varían en dificultad (en general) y también porque las N difieren. Son las diferentes tasas base de los diferentes tipos de cirugías lo que hace que esto sea contra-intuitivo. Sería fácil ver qué sucede si ambos hospitales realizaron exactamente el mismo número de cada tipo de cirugía. Podemos hacerlo simplemente calculando las probabilidades de éxito y multiplicando por 100; Esto se ajusta a las diferentes frecuencias:

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

Ahora, debido a que ambos hospitales realizaron 100 de cada cirugía (500 en total), la respuesta es obvia: Mercy es el mejor hospital.

Ninguna de las respuestas son completamente infundadas. Pero TODOS asumen un conocimiento externo significativo y no se puede considerar que sean correctos estrictamente sobre la base de las estadísticas.

A, B, D y E requieren suposiciones sobre los factores que hacen que los pacientes elijan un hospital sobre otro; el proceso por el cual los médicos y los pacientes se emparejan, la medida en que las tasas de éxito son atribuibles a clases específicas de operaciones versus factores compartidos como la UCI, y de manera continua.

En el mundo real, podríamos considerar legítimamente muchos factores alternativos, como los proveedores de pagos que el hospital acepta oficialmente, las tasas socioeconómicas y de obesidad del vecindario, si este es un hospital docente (en cuyo caso, la tasa de éxito se desploma cuando llegan nuevos internos y nosotros tener que considerar la mezcla mensual), y así sucesivamente.

Obviamente, podemos y hacemos suposiciones razonables sobre estos factores, pero sin abordarlos o excluirlos específicamente del problema, es imposible decir si una respuesta es "correcta" o no.

@gung dio una respuesta muy completa, pero hay una razón más por la que D es una respuesta correcta a la pregunta: mejores hospitales realizan más operaciones difíciles porque son mejores. Es decir, si una persona ingresa al Hospital Hope para la operación E (la más difícil), puede enviarla a Mercy porque en Hope no saben cómo hacerlo.

Esto incluso ocurre en el mundo real, y los casos más difíciles se envían a hospitales más grandes o más especializados.