¿La suma de una variable aleatoria discreta y continua es continua o mixta?

Si $X$ es discreto e es una variable aleatoria continua, ¿qué podemos decir acerca de la distribución de ? ¿Es continuo o está mezclado? $Y$ $X+Y$

¿Qué pasa con el producto ? $XY$

self-study distributions random-variable

— usuario666
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Respuestas:

Supongamos que asume valores con distribución discreta , donde es un conjunto numerable, y asume valores en con densidad y CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Deje que . Tenemos $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ que puede diferenciarse para obtener una función de densidad para

dada por

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Ahora deje y suponga que . Entonces $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ que nuevamente se puede diferenciar para obtener una función de densidad.

$p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Joris Bierkens
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$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

Si es una variable aleatoria continua, entonces $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Rodrigo de Azevedo
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¿Por qué el voto negativo?

— Rodrigo de Azevedo

Sí, también tengo curiosidad por el voto negativo

— Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Estoy de acuerdo con (b). Sin embargo, se dice que un RV discreto "puede considerarse como ...", por lo que creo que agrega una visión interesante.

— Yair Daon

Es por eso que escribí que su respuesta es engañosa. Debido a que la pregunta se refiere a la distinción entre distribuciones discretas y continuas, y esa distinción es una cuestión de definición matemática, no de "gusto", es probable que sus esfuerzos por confundir los dos sean menos que útiles.

— whuber

$X$ $Y$

Editar: Supongo que "continuo" significa "tener un pdf". Si se pretende que continuo sea sin átomos, la prueba es similar; simplemente reemplace "conjunto nulo de Lebesgue" con "conjunto de singleton" en lo que sigue.

Deja que el apoyo de $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

Lema: $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

Para la cuestión de los productos, se aplica la misma lógica siempre que $P(X=0)=0$ . Si $P(X=0)=1$ , entonces $XY$ es discreto con $P(XY=0)=1$ $XY$

— Mike Earnest
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