Valor esperado de la relación máxima de n iid variables normales

Suponga que son iid de y deje que denote el -ésimo elemento más pequeño de . ¿Cómo podría uno llegar al límite superior del máximo esperado de la relación entre dos elementos consecutivos en ? Es decir, ¿cómo puede calcular un límite superior en: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

La literatura que he podido encontrar se centra principalmente en la relación entre dos variables aleatorias, lo que da como resultado una distribución de relación para la cual se proporciona el pdf para dos distribuciones normales no correlacionadas aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Si bien esto me permitiría aumentar la relación promedio esperada de $n$ variables, no puedo ver cómo generalizar este concepto para encontrar la relación máxima esperada de $n$ variables.

— Max
fuente

Como Whuber ha señalado a continuación, la expectativa de la proporción de dos estadísticas de orden consecutivas no converge. Pero si lo hizo, o si está interesado en su diferencia, diga

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... el problema debería de hecho simplificarse para encontrar la relación (o diferencia, según sea el caso) de las dos estadísticas de orden

es decir,

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... solo por la forma de las colas normales.

— Wolfies

La expectativa es indefinida.

Deje que sea iid de acuerdo con cualquier distribución con la siguiente propiedad: existe un número positivo y un positivo tal que $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

para todos . Esta propiedad es cierta para cualquier distribución continua, como una distribución Normal, cuya densidad es continua y no nula en , para entonces , lo que nos permite tomar para valor cualquier fijo entre y . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Para simplificar el análisis, también asumiré y , los cuales son ciertos para todas las distribuciones normales. (Esto último se puede asegurar reescalando si es necesario. El primero se usa solo para permitir una simple subestimación de una probabilidad). $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Deje y sobreestimemos la función de supervivencia de la relación como $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Esa última probabilidad es la posibilidad de que exactamente de exceda , exactamente uno se encuentra en el intervalo , y el restante (si lo hay) no es positivo. En términos de esa probabilidad se da por la expresión multinomial $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Cuando , la desigualdad proporciona un límite inferior para esto que es proporcional a , lo que demuestra que $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

La función de supervivencia de , tiene una cola que se comporta asintóticamente como : es decir, para algún número positivo . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Por definición, la expectativa de cualquier variable aleatoria es la expectativa de su parte positiva más la expectativa de su parte negativa . Dado que la parte positiva de la expectativa, si existe, es la integral de la función de supervivencia (de a ) y $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

La parte positiva de la expectativa de diverge. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

El mismo argumento aplicado a las variables muestra que la parte negativa de la expectativa diverge. Por lo tanto, la expectativa de la relación ni siquiera es infinita: es indefinida. $-X_i$

— whuber
fuente

+1 Yo solo estaba probando un caso 'simple' e intenté evaluar las expectativas ... y llegué a la misma conclusión: que la expectativa integral no converge. Quizás el OP volverá a emitir la pregunta en una forma diferente, como diferencias en lugar de proporciones

n = 3

$n = 3$

— wolfies