¿Cómo agregar dos variables aleatorias dependientes?

Lo sé, no puedo usar la convolución. Tengo dos variables aleatorias A y B y son dependientes. Necesito la función distributiva de A + B

random-variable non-independent

— Mesko
fuente

Si A y B son dependientes, entonces se requiere la distribución conjunta de A y B para llegar a la distribución de A + B.

— vinux

No entiendo tu pregunta. ¿Qué sabes y por qué no puedes usar la convolución?

— Xi'an

Sé que la función distributiva de A y B. f A y B son dos variables aleatorias continuas independientes, entonces puedo encontrar la distribución de Z = A + B tomando la convolución de f (A) y g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Pero, ¿qué puedo hacer, cuando no son independientes? Lo siento, si esta es una pregunta tonta.

— Mesko

No es una pregunta tonta, Mesko, pero lo que la gente señala es que necesita más información. La respuesta depende de cómo

no sean independientes. Una descripción completa de eso está dada por la distribución conjunta de

, que es lo que pregunta Vinux. Xi'an está investigando un poco más delicadamente pero realmente busca el mismo tipo de información para ayudarlo a progresar.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Respuestas:

Como señala Vinux, uno necesita la distribución conjunta de y , y no es obvio por la respuesta de OP Mesko "Sé la función distributiva de A y B" que está diciendo que conoce la distribución conjunta de A y B: puede Bueno, digamos que conoce las distribuciones marginales de A y B. Sin embargo, suponiendo que Mesko sí conoce la distribución conjunta, la respuesta se da a continuación. $A$ $B$

A partir de la integral de convolución en el comentario de OP Mesko (lo cual es incorrecto, por cierto), se podría inferir que Mesko está interesado en variables aleatorias continuas conjuntas y con función de densidad de probabilidad conjunta . En este caso, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Cuandoyson independientes, los factores de función de densidad conjunta en el producto de las funciones de densidad marginal:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ y obtenemos la fórmula de convolución más familiar para variables aleatorias independientes. Un resultado similar se aplica también a las variables aleatorias discretas.

Las cosas son más complicadas si y no son conjuntamente continuas, o si una variable aleatoria es continua y la otra es discreta. Sin embargo, en todos los casos, siempre se puede encontrar la función de distribución de probabilidad acumulativa de como la masa de probabilidad total en la región del plano especificada como $A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ y calcule la función de densidad de probabilidad, o la función de masa de probabilidad, o lo que sea, a partir de la función de distribución. De hecho, la fórmula anterior se obtiene escribiendo como una integral doble de la función de densidad conjunta sobre la región especificada y luego "diferenciando bajo el signo integral". $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
fuente

Esto está relacionado con mi comentario y respuesta sobre otra pregunta relacionada con distribuciones conjuntas hace unos días.

— Xi'an

De antemano, no sé si lo que digo es correcto, pero me quedé atrapado en el mismo problema y traté de resolverlo de esta manera:

F_{UN, si} (un, si) = (un + si) H (un, si) H (- un + 1, - si + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

F_{UN, si} (un, si) = (un + si) (H (un) - H (un - 1)) (H (si) - H (si - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

Esta es la representación de Wolfram de la articulación: A

Calculando la integral que tengo: B

Trazado: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
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La pregunta no parecía ser lo suficientemente específica sobre la distribución conjunta para obtener una respuesta. ¿Cómo se te ocurrió uno?

— Michael R. Chernick

+1 para resolver correctamente el supuesto contraejemplo en la respuesta de @ cdlg y mostrar que los cálculos si se realizan correctamente dan la respuesta correcta, y no los resultados erróneos en la respuesta de cdlg. No puedo creer que esa respuesta haya recibido dos votos a favor.

— Dilip Sarwate