¿Es normal la suma de una gran cantidad de variables aleatorias Cauchy independientes?


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Según el Teorema del límite central, la función de densidad de probabilidad de la suma de grandes variables aleatorias independientes tiende a una Normal. Por lo tanto, ¿podemos decir que la suma de un gran número de variables aleatorias Cauchy independientes también es Normal?


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¿Cuáles son las hipotesis de la versión del Teorema del límite central que has aprendido?
Brian Borchers

Respuestas:


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No.

Te estás perdiendo uno de los supuestos centrales del teorema del límite central:

... variables aleatorias con variaciones finitas ...

La distribución de Cauchy no tiene una variación finita.

La distribución de Cauchy es un ejemplo de una distribución que no tiene una media, varianza o momentos más altos definidos.

De hecho

Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una distribución Cauchy estándar, entonces la media muestral tiene la misma distribución Cauchy estándar.X1,,XnX1++Xnn

Entonces, la situación en su pregunta es bastante clara, solo sigue recibiendo la misma distribución de Cauchy.

Este es el concepto de una distribución estable, ¿verdad?

Si. Una distribución (estrictamente) estable (o variable aleatoria) es aquella para la cual cualquier combinación lineal de dos copias iid se distribuye proporcionalmente a la distribución original. La distribución de Cauchy es, de hecho, estrictamente estacionaria.aX1+bX2

(*) Citas de wikipedia.


Guau. Debería ir a repasar mi concepto de CLT. Muchas gracias por la respuesta.
urwaCFC

El cauchy es un muy buen ejemplo en este espacio. Hay suficiente masa en las colas como para que el promedio no lo empuje hacia la media, pero no lo suficiente como para que los valores atípicos hagan que se acumule masa en las colas. Está justo en el límite donde falla el CLT.
Matthew Drury

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"Está justo en el límite donde falla el CLT". No del todo: una distribución con 2 grados de libertad tendría finita, pero infinita, mientras que Cauchy no tiene ninguna. Para los Cauchy, ¡la ley de los grandes números ni siquiera se aplica! tE(|X|)E(X2)
Andrew M

Ohhh, interesante! Supongo que realmente leí algunos matices allí.
Matthew Drury

Si recuerdo bien, en realidad hay un teorema de límite correspondiente para t2 y Cauchy. Si recuerdo correctamente, una elección apropiada de estandarización en función de de t2 converge a la normalidad - muy lentamente - mientras que para Cauchy tenemos que las medias de muestra son las mismas Cauchy con las que comenzamos. nX¯μ
Glen_b -Reinstate Monica
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