No.
Te estás perdiendo uno de los supuestos centrales del teorema del límite central:
... variables aleatorias con variaciones finitas ...
La distribución de Cauchy no tiene una variación finita.
La distribución de Cauchy es un ejemplo de una distribución que no tiene una media, varianza o momentos más altos definidos.
De hecho
Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una distribución Cauchy estándar, entonces la media muestral tiene la misma distribución Cauchy estándar.X1,…,XnX1+⋯+Xnn
Entonces, la situación en su pregunta es bastante clara, solo sigue recibiendo la misma distribución de Cauchy.
Este es el concepto de una distribución estable, ¿verdad?
Si. Una distribución (estrictamente) estable (o variable aleatoria) es aquella para la cual cualquier combinación lineal de dos copias iid se distribuye proporcionalmente a la distribución original. La distribución de Cauchy es, de hecho, estrictamente estacionaria.aX1+bX2
(*) Citas de wikipedia.