Ayúdame a entender la función cuantil (CDF inverso)

Estoy leyendo sobre la función cuantil, pero no me queda claro. ¿Podría proporcionar una explicación más intuitiva que la que se proporciona a continuación?

Como el cdf es una función monotónicamente creciente, tiene una inversa; denotémoslo por . Si es el cdf de , entonces es el valor de tal que ; esto se denomina la cuantil de . El valor es la mediana de la distribución, con la mitad de la masa de probabilidad a la izquierda y la mitad a la derecha. Los valores y son los cuartiles inferior y superior. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
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Deberías aprender a usar el marcado matemático, mira mis ediciones

— kjetil b halvorsen

Este es un modelo de explicación concisa a cierto nivel y ya contiene un ejemplo. No está claro qué nivel de explicación busca. Una respuesta podría ser 10 veces más larga que esto dependiendo de lo que no sepas. Por ejemplo, ¿sabes que es un cdf? ¿sabes lo que significa 'aumento monotónico'? ¿Sabes qué es una función inversa? Estamos a la mitad de la primera oración. Su pregunta es equivalente a una afirmación de que no comprende (todo) esto y, aunque no tenemos ninguna razón para dudarlo, esa no es una pregunta precisa.

— Nick Cox

Todo esto puede parecer complicado al principio, pero se trata esencialmente de algo muy simple.

Por función de distribución acumulativa, denotamos la función que devuelve las probabilidades de que $X$ sea menor o igual que algún valor $x$ ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Esta función toma como entrada devuelve valores del intervalo (probabilidades): los denotamos como . El inverso de la función de distribución acumulativa (o función cuantil) le dice qué haría que devuelva algún valor , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Esto se ilustra en el siguiente diagrama que utiliza la función de distribución acumulativa normal (y su inversa) como ejemplo.

Ejemplo

Como un simple ejemplo, puede tomar una distribución estándar de Gumbel . Su función de distribución acumulativa es

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

y puede invertirse fácilmente: recordar la función de logaritmo natural es una función inversa de exponencial , por lo que es instantáneamente obvio que la función cuantil para la distribución de Gumbel es

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Como puede ver, la función cuantil, según su nombre alternativo, "invierte" el comportamiento de la función de distribución acumulativa.

Función de distribución inversa generalizada

No todas las funciones tienen un inverso. Es por eso que la cita a la que se refiere dice "función monotónicamente creciente". Recuerde que, desde la definición de la función , debe asignar a cada valor de entrada exactamente una salida. Las funciones de distribución acumulativa para variables aleatorias continuas satisfacen esta propiedad ya que están aumentando monotónicamente. Para las variables aleatorias discretas, las funciones de distribución acumulativa no son continuas y crecientes, por lo que utilizamos funciones de distribución inversa generalizadas que deben ser no decrecientes. Más formalmente, la función de distribución inversa generalizada se define como

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

$p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Funciones sin inversas

En general, no hay inversas para las funciones que pueden devolver el mismo valor para diferentes entradas, por ejemplo, funciones de densidad (por ejemplo, la función de densidad normal estándar es simétrica, por lo que devuelve los mismos valores para y etc.). La distribución normal es un ejemplo interesante por una razón más: es uno de los ejemplos de funciones de distribución acumulativa que no tienen un inverso de forma cerrada . ¡No todas las funciones de distribución acumulativa deben tener un inverso de forma cerrada ! Esperemos que en tales casos las inversas se puedan encontrar utilizando métodos numéricos. $-2$ $2$

Caso de uso

La función cuantil se puede usar para la generación aleatoria como se describe en ¿Cómo funciona el método de transformación inversa?

— Tim
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Esta respuesta funciona bien hasta el penúltimo párrafo. En el momento en que llegas allí, has afirmado que cada CDF continuo tiene un inverso, pero luego pareces haber ofrecido la distribución Normal como un contraejemplo a esa misma declaración. Eso es potencialmente muy confuso.

— Whuber

@whuber tienes razón, agregó una oración para que quede más claro.

— Tim

Tim, y agregué una palabra más para hacerlo aún más claro :)

— ameba dice Reinstate Monica

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ daría el límite inferior más grande, es decir, fijaría un punto único y al hacerlo definiría inversa generalizada. Esto tiene sentido ?

— Alexander Cska

@AlexanderCska Sí, básicamente, los valores múltiples de F (x) son mayores que u, por lo que tomamos el límite inferior, "el valor más pequeño que cumple con esta condición".

— Tim

Tim tuvo una respuesta muy completa. ¡Buen trabajo!

Me gustaría agregar un comentario más. No todas las funciones que aumentan monotónicamente tienen una función inversa. En realidad, solo las funciones estrictamente monotónicamente crecientes / decrecientes tienen funciones inversas.

Para el cdf que aumenta monotónicamente y que no aumenta estrictamente monotónicamente, tenemos una función cuantil que también se llama función de distribución acumulativa inversa. Puedes encontrar más detalles aquí .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
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