Probar la transformación integral de probabilidad sin suponer que el CDF está aumentando estrictamente

Sé que la prueba de la transformación integral de probabilidad se ha dado varias veces en este sitio. Sin embargo, las pruebas que encontré utilizan la hipótesis de que el CDF está aumentando estrictamente (junto, por supuesto, con la hipótesis de que es una variable aleatoria continua). Sé que en realidad la única hipótesis requerida es que es una variable aleatoria continua, y no se requiere una monotonicidad estricta. ¿Me puedes mostrar cómo?$F_X(x)$$X$$X$

Como ya estoy aquí, también aprovecho la ocasión para pedir una aplicación simple de la transformación integral de probabilidad :) ¿puede mostrarme que, si tiene CDF e es el truncamiento de a , entonces se distribuye como donde ?$X$$F_X(x)$$Y$$X$$[a,b]$$Y$$F_X^{-1}(U)$$U\sim[F_X(a),F_X(b)]$

En el enlace de wikipedia proporcionado por el OP, la transformación integral de probabilidad en el caso univariante se da de la siguiente manera

Supongamos que una variable aleatoria $X$ tiene una distribución continua para la cual la función de distribución acumulativa (CDF) es $F_X$. Entonces la variable aleatoria$Y=F_X(X)$Tiene una distribución uniforme.
PRUEBA
Dada cualquier variable aleatoria$X$, definir $Y = F_X (X)$. Entonces:

$$\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$$

$F_Y$ es solo el CDF de un $\mathrm{Uniform}(0,1)$variable aleatoria. Así,$Y$ tiene una distribución uniforme en el intervalo $[0, 1]$.

El problema con lo anterior es que no está claro cuál es el símbolo $F_X^{-1}$representa. Si representara el inverso "habitual" (que existe solo para biyecciones), entonces la prueba anterior se mantendría solo para CDF continuos y estrictamente crecientes. Pero este no es el caso, ya que para cualquier CDF trabajamos con la función cuantil (que es esencialmente una inversa generalizada),

Según esta definición, la serie de igualdades de Wikipedia sigue siendo válida para los CDF continuos. La igualdad crítica es

que se cumple porque estamos examinando un CDF continuo. Esto en la práctica significa que su gráfica es continua (y sin partes verticales, ya que es una función y no una correspondencia). A su vez, esto implica que el infimum (el valor de inf {...}), lo denota$x(y)$, siempre será tal que $F_X(x(y)) = y$. El resto es inmediato.

Con respecto a los CDF de distribuciones discretas (o mixtas), no es (no puede ser) cierto que$Y=F_X(X)$ sigue un uniforme $U(0,1)$, pero aún es cierto que la variable aleatoria $Z=F_{X}^{-1}(U)$ tiene función de distribución $F_X$(por lo que el muestreo de transformación inversa todavía se puede utilizar). Una prueba se puede encontrar en Shorack, GR (2000). Probabilidad para los estadísticos . ch.7 .