Usaré la siguiente notación para ser lo más coherente posible con el wiki (en caso de que quiera ir y venir entre mi respuesta y las definiciones de wiki para el poisson y exponencial ).
nortet : el número de llegadas durante el período de tiempot
Xt : el tiempo que tarda una llegada adicional en llegar, suponiendo que alguien haya llegado a la horat
Por definición, las siguientes condiciones son equivalentes:
(Xt>x)≡(Nt=Nt+x)
El evento de la izquierda captura el evento de que nadie ha llegado en el intervalo de tiempo que implica que nuestro recuento del número de llegadas en el tiempo es idéntico al recuento en el tiempo que es el evento a la derecha.[t,t+x]t+xt
Por la regla del complemento, también tenemos:
P(Xt≤x)=1−P(Xt>x)
Usando la equivalencia de los dos eventos que describimos anteriormente, podemos reescribir lo anterior como:
P(Xt≤x)=1−P(Nt+x−Nt=0)
Pero,
P(Nt+x−Nt=0)=P(Nx=0)
Usando el poisson pmf lo anterior donde es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo una cantidad de unidades de tiempo, se simplifica a:λx
P(Nt+x−Nt=0)=(λx)00!e−λx
es decir
P(Nt+x−Nt=0)=e−λx
Sustituyendo en nuestra ecuación original, tenemos:
P(Xt≤x)=1−e−λx
Lo anterior es el cdf de un pdf exponencial.