Estime el centro y el radio de una esfera a partir de puntos en la superficie

Si suponemos que nuestros puntos de datos fueron muestreados desde la superficie de una esfera (con cierta perturbación), ¿cómo podemos recuperar el centro de esa esfera?

En mi búsqueda, encontré documentos sobre algo etiquetado como "regresión esférica", pero no parecía que estuviera haciendo lo mismo. Tal vez simplemente no lo entendí.

¿Existe una fórmula directa, similar a la regresión lineal, que encuentre un punto central de la esfera y un radio que minimicen la distancia al cuadrado de un conjunto de puntos de datos desde la superficie de la esfera?

Editar 1:

Podemos suponer que el ruido será 2 o 3 órdenes de magnitud más pequeño que el radio de la esfera y uniformemente esféricamente gaussiano. Sin embargo, las muestras en sí mismas definitivamente no se extraerán uniformemente de la superficie de la esfera, sino que probablemente se agruparán en algunos parches en la superficie, probablemente todos dentro de un hemisferio. Una solución que funciona para datos en$\mathbb R^3$ está bien, pero una solución general para la dimensionalidad arbitraria también es genial.

Edición 2:

¿Cuáles son las posibilidades de que pueda obtener una respuesta sensata si tuviera que usar la regresión lineal, $y = X\beta + \epsilon$, en el espacio de 7 dimensiones simulando que los componentes al cuadrado son independientes de los otros parámetros:

$\begin{align} X &= \begin{array}{ccccccc}[-2x& -2y&-2z&1&1&1&-1]\end{array}\\ \beta &= \begin{array}{ccccccc}[x_0 & y_0 & z_0 & x_0^2 & y_0^2 & z_0^2 & r^2]'\end{array}\\ y &= x^2+y^2+z^2\end{align}$

En el mejor de los casos, supongo que mi métrica de error será un poco rara. En el peor de los casos, la solución ni siquiera será consistente
... o eso es una tontería porque con cuatro columnas idénticas, obtenemos una matriz singular cuando intentamos hacer una regresión.

Edición 3:

Entonces, parece que estas son mis opciones:

1. Optimización numérica no lineal utilizando alguna función de costo: $f(x_0,y_0,z_0,r|X) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \left(r - \sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2+(z_i-z_0)^2}\right)^2$
2. Transformación de Hough: discretiza el espacio plausible o los posibles centros y radios alrededor de los puntos de datos. Cada punto emite un voto para los centros potenciales de los que podría formar parte en cada discretización de radio específico. La mayoría de los votos gana. Esto podría estar bien si hubiera potencialmente un número desconocido de esferas, pero con solo una es una solución desordenada.
3. Seleccione aleatoriamente (o sistemáticamente) grupos de 4 puntos y calcule analíticamente el centro . Rechace el muestreo si está mal acondicionado (los puntos son casi coplanares). Rechace los valores atípicos y encuentre el centro medio. A partir de eso podemos encontrar el radio medio.

¿Alguien tiene un mejor método?

Aquí hay un Rcódigo que muestra un enfoque usando mínimos cuadrados:

# set parameters

mu.x <- 8
mu.y <- 13
mu.z <- 20
mu.r <- 5
sigma <- 0.5

# create data
tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z


# function to minimize
tmpfun <- function(pars) {
    x.center <- pars[1]
    y.center <- pars[2]
    z.center <- pars[3]
    rhat <- pars[4]

    r <- sqrt( (x-x.center)^2 + (y-y.center)^2 + (z-z.center)^2 )
    sum( (r-rhat)^2 )
}

# run optim
out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(x))/2), tmpfun )
out


# now try a hemisphere (harder problem)

tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp[,1] <- abs(tmp[,1])
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z

out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(y))/2), tmpfun )
out

Si no lo usa R, debería poder seguir la lógica y traducirla a otro idioma.

Técnicamente, el parámetro de radio debe estar limitado por 0, pero si la variabilidad es pequeña en relación con el radio verdadero, entonces el método sin límites debería funcionar bien, u optim tiene opciones para hacer la optimización limitada (o simplemente puede hacer el valor absoluto de radio en la función para minimizar).