En todo momento suponemos que nuestra estadística es una función de algunos datos que se extrae de la función de distribución ; La función de distribución empírica de nuestra muestra es . Entonces es la estadística vista como una variable aleatoria y es la versión de arranque de la estadística. Usamos como la distancia KSX 1 , ... X n F F θ ( F ) θ ( F ) d ∞
Hay "si y solo si" resultados para la validez de la rutina de carga si la estadística es una estadística lineal simple. Por ejemplo, el Teorema 1 de Mammen "¿Cuándo funciona el bootstrap?"
Si para alguna función arbitraria entonces el bootstrap funciona en el sentido de que si y solo si existe y modo que d_ \ infty \ big [\ mathscr {L} (\ theta (F) -t_n), N (0, \ sigma_n ^ 2) \ big] \ underset {p} {\ rightarrow} 0 Donde podemos definir \ hat {t_n} como alguna función de nuestra muestra y t_n = \ mathbb {E} (\ hat {t} _n)hnd∞[L(θ( F ) - t n),L(θ(F)-tn)]→p0σntnd∞[L(θ(F)-tn)
También hay resultados más generales de que el bootstrap funciona para estadísticas generales, por ejemplo, el Teorema 1.6.3 del Submuestreo de Politis Romano y Wolf:
Suponga que se extrae de la clase de todas las distribuciones con soporte finito. Suponga que la estadística es Frechet diferenciable en con respecto a la norma supremum y que la derivada satisface . Entonces es asintóticamente normal y el bootstrap funciona en el sentido del teorema anterior.
Me gustaría una versión 'if and only if' del segundo teorema. Esto requerirá una noción de suavidad diferente de la diferenciabilidad de Frechet porque Politis, Romano y Wolf (1999) muestran que la mediana de la muestra no es diferenciable por Frechet pero el arranque aún funciona. Sin embargo, la mediana de la muestra sigue siendo una función suave de los datos.
Hay algunos comentarios informales en Mammen de que la suavidad es necesaria:
Por lo general, la linealidad asintótica local parece ser necesaria para la consistencia de bootstrap
La cita es para:
van Zwet, W (1989). Charla impartida en la conferencia sobre "Métodos asintóticos para procedimientos informáticos intensivos en estadística" en Olberwolfach.
Pero no puedo encontrar ningún rastro de esta conversación, aparte de un puñado de citas.