¿Puedo tomar una decisión usando un factor Bayes?

Los factores de Bayes denotan qué tan bien se admite cierto modelo. Digamos que estoy ejecutando un experimento controlado y tengo dos modelos: el modelo nulo y el modelo alternativo.

Si tengo un factor Bayes alto, ¿podría argumentar que el tratamiento es efectivo y proponer realizar el cambio?

hypothesis-testing bayes bayes-factors

— ameba
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¿Podrías entrar en más detalles? ¿Cuál es exactamente su escenario de toma de decisiones? ¿Qué dos modelos tienes? ¿Qué no está claro sobre el uso de los factores de Bayes para usted?

— Tim

La posibilidad de fabricar o no un nuevo medicamento es el escenario de decisión. Queremos determinar si este medicamento fue realmente efectivo.

Nota: Los Factores de Bayes pueden ser alarmantemente sensibles a los detalles de los antecedentes no informativos (e indefinidos para aquellos que son inadecuados). Sin embargo, el escenario de prueba de drogas esbozado también invita a un problema de inferencia más simple establecido dentro de un solo modelo que tiene un parámetro que representa el efecto del tratamiento de drogas. De esa forma obtendrás un intervalo creíble para el tamaño del efecto como un bono.

— conjugateprior

No entiendo por qué alguien votó para cerrar esto como poco claro. Creo que está perfectamente claro y la respuesta es básicamente Sí, pero por supuesto con algunas advertencias como, por ejemplo, señaló @conjugateprior (+1). Sin embargo, la primera oración de su pregunta ("Los factores de Bayes denotan qué tan bien se admite cierto modelo") es incorrecta: los factores de Bayes son para comparar dos modelos.

— ameba

No, no hay 'estimadores bayesianos' o incluso, estrictamente hablando, 'estimación bayesiana' (aunque hay estimadores que pueden tener una motivación bayesiana). Hay, por otro lado, inferencia bayesiana. Pero lo que obtienes de eso no es un estimador, o incluso una estimación, sino una distribución conjunta de todas las cantidades desconocidas que se mencionan en un modelo (también conocido como el posterior) condicionado a los datos.

— conjugateprior

Esta es una excelente y profunda pregunta.

Si bien los libros de texto tradicionales (como el mío ) tienden a promover los factores de Bayes como equivalentes a las probabilidades posteriores de las hipótesis nulas y alternativas o de dos modelos en comparación, lo cual es formalmente correcto como se detalla en el siguiente extracto de mi elección bayesiana , ahora tiendo a pensar que el factor de Bayes per se debe no ser utilizado para la toma de decisiones, sino más bien como una medida de la evidencia relativa de un modelo frente a la otra. Por ejemplo, usando $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)=1$ como la línea divisoria entre nulo y alternativo (o entre el modelo a y el modelo b) no me parece una elección natural. Además, no creo que la pérdida 0-1 defendida por Neyman y Pearson y luego adoptada por casi todos tenga mucho sentido y brinde algún apoyo a la interpretación decisiva del factor Bayes.

Mi perspectiva actual sobre el factor Bayes es más en un modo predictivo anterior o posterior donde el comportamiento de $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ se evalúa bajo ambos modelos, para calibrar el valor observado $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ contra ambas distribuciones anteriores o posteriores de $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ . Esto nos aleja de la perspectiva decisional.

[De The Bayesian Choice , 2007, Sección 5.2.2, página 227]

Desde un punto de vista teórico de decisión, el factor Bayes es solo una transformación uno a uno de la probabilidad posterior, pero esta noción se consideró en su propio terreno en las pruebas bayesianas.

El factor de Bayes es la razón de las probabilidades posteriores del nulo y la hipótesis alternativa sobre la razón de las probabilidades anteriores del nulo y la hipótesis alternativa, es decir,
${si}_{01}^{π} (X) = \frac{PAGS (θ \in Θ_{0 0} ∣ X)}{PAGS (θ \in Θ_{1} ∣ X)} / / \frac{π (θ \in Θ_{0 0})}{π (θ \in Θ_{1})} .$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x) = {\mathbb{P}(\theta \in \Theta_ 0\mid x) \over \mathbb{P}(\theta \in \Theta_1\mid x)} \bigg/ {\pi(\theta \in \Theta_ 0) \over \pi(\theta \in \Theta_ 1)}.$
Esta relación evalúa la modificación de las probabilidades de $\Theta_0$ en contra $\Theta_1$ debido a la (s) observación (es) y, naturalmente, se puede comparar con $1$ , aunque una escala de comparación exacta solo puede basarse en una función de pérdida.

El factor Bayes es, desde un punto de vista teórico de decisión bayesiano, completamente equivalente a la probabilidad posterior de la hipótesis nula como $H_0$ se acepta cuando
${si}_{01}^{π} (X) \geq \frac{{una}_{1}}{{una}_{0 0}} / / \frac{ρ_{0 0}}{ρ_{1}} = \frac{{una}_{1} ρ_{1}}{{una}_{0 0} ρ_{0 0}},$ $B^\pi_{01} (x) \ge {a_1\over a_0} \big/ {\rho_0 \over \rho_1} = {a_1\rho_1 \over a_0\rho_0},$ dónde $\begin{aligned} ρ_{0 0} & = π (θ \in Θ_{0 0}) y \\ ρ_{1} & = π (θ \in Θ_{1}) \\ = 1 - ρ_{0 0} . \end{aligned}$ $\begin{align*} \rho_0 &= \pi(\theta\in\Theta_0) \quad \hbox{ and } \nonumber\\ \rho_1 &= \pi(\theta\in\Theta_1)\\ &=1-\rho_0. \end{align*}$

y donde $a_0$ y $a_1$ son las sanciones por seleccionar erróneamente las hipótesis alternativas y nulas o los modelos $\mathfrak{M}_0$ y $\mathfrak{M}_1$ . respectivamente, en la formulación de Neyman-Pearson:

L (θ, φ) = {\begin{cases} 0 0 & Si φ = {yo}_{Θ_{0 0}} (θ), \\ {una}_{0 0} & Si θ \in Θ_{0 0} y φ = 0 0, \\ {una}_{1} & Si θ \notin Θ_{0 0} y φ = 1, \end{cases}

$\mathfrak{L}(\theta, \varphi) = \begin{cases} 0 &\text{if $\varphi=\mathbb{I}_{\Theta_0}(\theta)$,} \cr a_0 &\text{if $\theta\in\Theta_0$ and $\varphi=0$,} \cr a_1 &\text{if $\theta\not\in\Theta_0$ and $\varphi=1$,}\cr\end{cases}$

— Xi'an
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(+1) Tal vez deberías agregar eso

a_{0}

$a_0$ y

a_{1}

$a_1$ son las penalizaciones asociadas a errores cuando el nulo es verdadero o falso.

— peuhp

Increíble respuesta Xi'an. Gracias por la respuesta, realmente lo aprecio.

+1. He formateado la cita de su libro de texto como una cita. Disculpe si no desea tenerla así por alguna razón (no dude en revertir mi edición). También eliminé las palabras "Panayiota Touloupou" que de alguna manera entraron en la definición durante la última revisión.

— ameba