Estimación de la media y el desarrollo de una curva gaussiana truncada sin espiga

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Supongamos que tengo un cuadro negro que genera datos siguiendo una distribución normal con media m y desviación estándar s. Supongamos, sin embargo, que cada vez que genera un valor <0 no registra nada (ni siquiera puede decir que ha emitido dicho valor). Tenemos una distribución gaussiana truncada sin espiga.

¿Cómo puedo estimar estos parámetros?

distributions estimation

Cambié la etiqueta de "truncado-gaussiano" a "truncamiento" porque la mayoría de las respuestas serán potencialmente útiles en situaciones que involucran otras distribuciones.

— whuber

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El modelo para sus datos sería:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Por lo tanto, la función de densidad es:

f (y_{i} | -) = \frac{e x p (- \frac{(y_{i} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

dónde,

$\phi(.)$

$\mu$ $\sigma$

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Como sugirió Srikant Vadali, Cohen y Hald resolvieron este problema usando ML (con un buscador de raíces Newton-Raphson) alrededor de 1950. Otro artículo es "Estimación en la distribución normal truncada" de Max Halperin disponible en JSTOR (para aquellos con acceso). Buscar en Google la "estimación gaussiana truncada" produce muchos éxitos de aspecto útil.

Los detalles se proporcionan en un hilo que generaliza esta pregunta (a distribuciones truncadas en general). Ver Estimadores de máxima verosimilitud para una distribución truncada . También podría ser interesante comparar los estimadores de máxima verosimilitud a la solución de máxima entropía dada (con código) a Max Entropía Solver en I .

— whuber
fuente

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$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Eso es todo...

— JFS
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