¿Cómo podemos simular a partir de una mezcla geométrica?

Si son densidades conocidas de las cuales puedo simular, es decir, para las cuales hay un algoritmo disponible. y si el producto es integrable, ¿existe un enfoque genérico para simular a partir de la densidad de este producto utilizando el simuladores de los 's? $f_1,\ldots,f_k$

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an
fuente

Sin supuestos adicionales, esto parece poco probable. (Sea por simplicidad. Sea pequeño. Suponga que asociado con cada hay un intervalo en el que y , fuera del cual , e para . Entonces los generadores separados casi siempre producirían valores en

, pero la probabilidad de

podría concentrarse en cualquier lugar, aparentemente sin relación con el

.) Entonces, ¿qué más puedes decirnos sobre el

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$ ?

— whuber

(+10) ¡Correcto! Sin embargo, usar un

α_{i}

$\alpha_i$ más pequeño conduciría a aplanar todos los elementos y, por lo tanto, favorecería la superposición de sus soportes efectivos ...

— Xi'an

Como Whuber dijo que la estanqueidad será un problema, tomaría una transformación (O muestreo preferencial) para cancelar la estanqueidad antes de generar muestras aleatorias. Hay un enfoque constructivo que creo que leí hace un tiempo. Sección 10.7 de link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 No estoy seguro si la discretización también se puede aplicar aquí.

— Henry.L

Bueno, por supuesto, está el algoritmo de aceptación-rechazo, que implementaría para su ejemplo como:

(Inicialización) Para cada , encuentre . Edite reflejando el comentario de Xi'an a continuación: Seleccione la distribución que corresponde al más pequeño . $i$ $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ $f_i$ $A_i$
Generar partir de . $x$ $f_i$
Calcule . $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$
Genere . $u \sim U(0,1)$
Si , devuelve , de lo contrario, vaya a 2. $u \leq \alpha$ $x$

Dependiendo de las distribuciones, por supuesto, puede tener una tasa de aceptación muy baja. Como sucede, el número esperado de iteraciones es igual al seleccionado (suponiendo distribuciones continuas), por lo que al menos se le advierte de antemano. $A_i$

— jbowman
fuente

(+1) ¡De hecho, una solución! Suponiendo que los límites

sí existen para todos los

's. O incluso algunos que

. Comparar los

'[suponiendo que sean finitos] también puede ayudar a seleccionar el

más eficiente .

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$