Enlace entre varianza y distancias por pares dentro de una variable

Por favor, demuestre que si tenemos dos variables (tamaño de muestra igual) e y la varianza en es mayor que en , entonces la suma de las diferencias al cuadrado (es decir, las distancias al cuadrado euclidianas) entre los puntos de datos dentro de también es mayor que que dentro de . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
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Por favor aclare: cuando dice varianza , ¿se refiere a varianza muestral ? Cuando dice suma de diferencias al cuadrado, ¿quiere decir ?

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— cardenal

Suponiendo lo anterior: contabilizando cuidadosamente los elementos en el término cruzado. Me imagino que puedes llenar los (pequeños espacios). El resultado luego sigue trivialmente.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— cardenal

También hay una manera de hacer esto "sin" ningún cálculo considerando el hecho de que si y son iid de (con una varianza bien definida), entonces . Sin embargo, requiere una comprensión un poco más firme de los conceptos de probabilidad.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— cardenal

Para una pregunta relacionada, utilicé una visualización de lo que está sucediendo aquí en una respuesta en stats.stackexchange.com/a/18200 : las diferencias al cuadrado son áreas de cuadrados.

— whuber

@whuber: Muy bien. De alguna manera me había perdido esta respuesta tuya en el camino.

— cardenal

Solo para proporcionar una respuesta "oficial", para complementar las soluciones esbozadas en los comentarios, aviso

Ninguno de , , , o se cambian cambiando todo uniformemente a para alguna constante o cambiando todo a para alguna constante . Por lo tanto, podemos suponer que tales cambios se han realizado para hacer , de donde y . $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
Después de eliminar los factores comunes de cada lado y usar (1), la pregunta pide mostrar que implica . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
La expansión simple de los cuadrados y la reorganización de las sumas dan con un resultado similar para las 's.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

La prueba es inmediata.

— whuber
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