¿Un nombre para esta condición de distribución?

Me he encontrado con una condición necesaria en una distribución de probabilidad continua definida sobre $[0, \infty]$y me pregunto si tiene un nombre Para una distribución con CDF$F$ y pdf $f$ Necesito que la cantidad:

$$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ ser monotónicamente no creciente. Poniendo la condición en otra forma (tomando derivados), el requisito es que para todos$x \in [0,\infty]$ tal que $f'(x) > 0$: $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Esto parece ser una propiedad comúnmente satisfecha, entonces ¿tiene un nombre? Está relacionado, pero es distinto de una condición de tasa de riesgo monótono.

Esta es casi la condición para que la función de distribución acumulativa sea log-cóncava , que es una propiedad muy útil con muchas aplicaciones. Pero casi .

Una función $F(x)$ es log-cóncavo si

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Escribe en términos de$\phi(x)$$F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

y queremos

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

... que no es suficiente para la concavidad logarítmica, debido a la existencia del factor . $2$

Suponga que la condición se cumple. Si dividimos entre y reorganizamos obtenemos$[F(x)]^2$

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$