¿Todas las bolas de la urna son del mismo color (cuando no se pueden ver con claridad)

Tengo un problema que se reduce a bolas en las urnas (en realidad se trata de alelos alternativos y de referencia en las poblaciones).

Supongamos que tengo una urna grande bien mezclada (sorteos iid) que puede contener dos colores de bolas: aguamarina y azul huevo de petirrojo ( a y r respectivamente). Son de color cercano, por lo que a veces una persona que los clasifica comete un error al identificar el color después de sacar una bola de una urna. Dejar$e_r$ser la probabilidad de un error cuando la pelota es realmente r y$e_a$cuando la pelota es realmente a . Suponga que conozco estos números (creo que son menores a 0.01 pero aún necesitan verificar) y he elegido un significado.

En un experimento, mi compañero dibuja $n$ bolas de la urna e identifica $r$bolas como color r y$a$como un ($n=r+a$) Luego me dice$r$ y $a$. Quiero probar$H_0$que todas las bolas son r versus$H_a$la urna contiene al menos una bola dada la cantidad de bolas extraídas.

Mi objetivo es realizar la prueba en 2 niveles diferentes para dar una calificación de "estrella" a la solidez de los resultados informados. No se pudo rechazar a 0.05 = 2 estrellas, rechazado a 0.05 = 3 estrellas y rechazado a 0.01 = 4 estrellas.

¿Qué prueba puedo usar para este problema? (Aunque he puesto esto en términos convencionales, estaría contento de obtener un factor de Bayes y establecer umbrales basados ​​en eso. También estoy contento con las pruebas que requieren un cierto número de mediciones para la validez; solo puedo clasificar muestras que son demasiado pequeñas como "no se pudo rechazar")

Tenga en cuenta que esto es diferente a probar una proporción porque esas pruebas no tienen error en la medición (y no funcionan para la proporción = 0 o 1). Pensé en intentar establecer un valor distinto de cero$H_0$ proporción utilizando algún tipo de factor de fudge basado en la tasa de error y el tamaño de la muestra (por ejemplo, pruebas $H_0=P \le e_r$ dónde $P$es la verdadera proporción, pero no pude encontrar un número bien justificado). También comencé a tratar de obtener mi propia prueba, pero me estaba tomando bastante tiempo y este parece ser el tipo de problema que alguien habría investigado antes.

Editar Reescribió la pregunta ligeramente para aclarar que no sé la secuencia de sorteos / clasificaciones

Admito que no leí completamente la otra respuesta, pero un enfoque burdo sería solo notar que $a$ sigue un binomio$(n, p = e_r)$ distribución cuando todas las bolas son de color azul huevo de Robin, por lo que puede rechazar cuando $a$es "demasiado grande" según el modelo binomial. Si esto no funciona, entonces quizás sea mejor una prueba de razón de probabilidad, que parece ser a lo que Zachary Blumenfeld está llegando.

Creo que tengo la función de probabilidad (Revelador completo, no estoy 100% seguro). Una vez que obtenga una probabilidad, el resto de la prueba de hipótesis debería ser más fácil.

Supongamos que dibujaste una muestra de tamaño $n$ denotado como $(X_1,...X_n)$. Por simplicidad, digamos;

$$X_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$$ Denota además el indicador de color "verdadero" de observación $i$ como $X_i^*$ tal que $$X^*_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; observation\; \; is\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; observation \; is\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$$ Supongamos también que se conoce la tasa de error, $e_r \in (0,1)$.

La probabilidad de $X_i$ condicional en $X^*_i$, es entonces una distribución de Bernoulli;

$$P(X_i=1|X^*_i,e_r)=\begin{cases} 1-e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=1\\ e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=0 \end{cases}$$ También podemos expresar esto como; $$P(X_i|X^*_i,e_r)=X^*_i\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-X^*_i)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$$ También sabemos la probabilidad de $X^*_i$ $$P(X^*_i|p) = p^{X^*_i}(1-p)^{1-X^*_i}$$ y eso $$P(X_i|e_r,p)=P(X_i|X^*_i=1,e_r)P(X^*_i=1|p) + P(X_i|X^*_i=0,e_r)P(X^*_i=0|p)$$ y luego después de un poco de álgebra; $$P(X_i|e_r,p) = p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$$

Entonces su probabilidad es;

$$\mathcal{L}(p\mid X_1,..,X_n,e_r)=\prod_{i=1}^n P(X_i|e_r,p)$$ $$= \prod_{i=1}^n p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$$

Su prueba de hipótesis se reduce a $H_0: p=1$ vs $H_1: p\neq 0$. Puede hacerlo con un factor de Bayes, o con un error estándar derivado de la probabilidad, o incluso a través de un arranque paramétrico. Como quieras. Ahora que tiene la probabilidad, el resto debería ser fácil.