Respuestas:
El paso marcado es válido porque (a) y q tienen los mismos momentos cero y segundo y (b) log ( p ) es una función polinómica de los componentes de x cuyos términos tienen grados totales 0 o 2 .
Solo necesita saber dos cosas acerca de una distribución normal multivariada con media cero:
es una función cuadrática de x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) sin términos lineales. Específicamente, hay constantes C y p i j para las cuales log ( p ( x ) ) = C + n ∑ i , j = 1 p i j
(Por supuesto, y p i j pueden escribirse en términos de Σ , pero este detalle no importa).
da los segundos momentos de la distribución. Es decir, Σ i j = E p ( x i x j ) = ∫ p ( x )
Podemos usar esta información para elaborar una integral:
Se divide en la suma de dos partes:
because each of the integrals on the right hand side, and , has the same value (to wit, ) Esto es lo que pretende decir la observación "producir los mismos momentos de la forma cuadrática".
El resultado sigue inmediatamente: desde , concluimos que
Creo que lo que sucede es que en las integrales en (4.27) y (4.28) tienes y multiplicando los términos del formulario (porque es una densidad normal, cuando toma el registro obtiene exactamente ese tipo de términos del exponente más las constantes). Pero entonces la condición en el teorema asegura que esos términos se multipliquen por de integrarse al mismo valor.