Aparte de la familia exponencial, ¿de dónde más pueden venir los conjugados anteriores?


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¿ Todos los anteriores conjugados tienen que venir de la familia exponencial? Si no, ¿qué otras familias se sabe que tienen / producen antecedentes conjugados?

Respuestas:


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Como se explica, por ejemplo, en la Sección 3.3.3 del libro "La elección bayesiana" de Christian Robert, de hecho existe una estrecha conexión entre familias exponenciales y anteriores conjugados, pero existen anteriores conjugados disponibles para ciertas familias no exponenciales. Sin embargo, los llama "cuasi-exponenciales" porque son familias para las que existen suficientes estadísticas de dimensión finita que no aumentan con el tamaño de la muestra.

Aquí hay un ejemplo para la distribución uniforme, cuyo soporte depende del parámetro de la distribución y, por lo tanto, no puede ser una familia exponencial (como es bien sabido):

Aquí, la distribución de Pareto es un conjugado previo para el parámetro b de la distribución uniforme en [0,b].

La densidad de la distribución de Pareto con parámetros. c>0 y α>0 es

f(x)=αcαxα1
para xc y f(x)=0 más.

El previo del parámetro b de una distribución uniforme en [0,b] es una distribución de Pareto con c0 y α0,

π(b)={α0c0α0bα01if bc00else.{bα01if bc00else.
La probabilidad de los datos. y1,,yn, dado b, es
f(y|b)={i=1n1b=bnif 0yib for all i=1,,n0else.
El producto de probabilidad y anterior es el posterior no normalizado.
π(b|y)π(b)f(y|b)={α0c0α0bα01bnif bc0 and 0yib for all i=1,,n0else.{bα0n1if bc0 and 0yib for all i=1,,n0else.{bα11if bc10else.
con
α1=α0+nc1=max(maxiyi,c0).
Por lo tanto, el posterior es distribuido por Pareto.

2
(+1) Entonces, si hay una estadística suficiente de dimensión constante, ¿hay un conjugado anterior?
Scortchi - Restablece a Monica

2
Pregunta muy interesante: ¡no lo sé! Mi respuesta solo proporciona un ejemplo de que la pertenencia a una familia exponencial no es una condición necesaria para la existencia de un conjugado previo. Estaría muy interesado en la respuesta, ¡así que por favor haga esto como una pregunta separada!
Christoph Hanck

1
Tengo la sensación de que tiene que ser así para actualizar al trabajo. Ciertamente haré una pregunta si no puedo encontrar la respuesta de un libro.
Scortchi - Restablece a Monica

1
@Scortchi: sí, porque si existe una estadística suficiente de dimensión fija, entonces estamos en una familia exponencial, según lo establecido por el lema Pitman-Koopman-Darmois .
Xi'an

1
¿Esto no omite el calificador: "entre todas las familias cuyo apoyo no depende del parámetro", vea también el ejemplo anterior?
Christoph Hanck
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