Intervalos aleatorios superpuestos

¿Cómo puedo encontrar una expresión analítica en el siguiente problema? $D(n,l,L)$

Caigo aleatoriamente "barras" de longitud en un intervalo . Las "barras" pueden superponerse. Me gustaría encontrar la longitud total media del intervalo ocupada por al menos una "barra". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

En el límite de "baja densidad", la superposición debe ser insignificante y . En el límite de "alta densidad", se aproxima a . Pero, ¿cómo puedo obtener una expresión general para ? Ese debería ser un problema estadístico bastante fundamental, pero no pude encontrar una solución explicativa en los foros. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Tenga en cuenta que las barras se eliminan realmente al azar (estadísticamente independientes) entre sí.

probability distributions

— Daniel
fuente

¿Es esta una pregunta de un curso o libro de texto? Si es así, agregue la [self-study]etiqueta y lea su wiki .

— gung - Restablece a Monica

No, no es. Puede calcular la longitud media ocupada fácilmente con una computadora mediante muestreo, pero el problema parece fundamental que debe haber un enfoque teórico para resolverlo. Como todos mis intentos fallaron, tenía curiosidad sobre cómo hacerlo.

— Daniel

¿Cuál es su modelo de cómo se "caen" las barras en [0, L]? ¿Es posible que sobresalgan en los bordes? Editar: su dibujo y su respuesta sugieren que sí.

— Adrian

Encuentre la probabilidad

que una

dada NO está cubierta, que es una intersección

iid eventos. Entonces, la longitud esperada de una porción descubierta es simplemente

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

La probabilidad de que un punto en sea ocupado por una sola barra caída es $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

$P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

$n$

$[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$

— Daniel
fuente

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

Gracias por las pistas. Tienes razón, debería haber escrito que se supone que existe una correlación cero entre los "dibujos" aleatorios. Y también tiene razón, la solución anterior es válida solo cuando no se permite que las barras sobresalgan. ¿Cómo podría resolverse el problema cuando les permitimos sobresalir?

— Daniel

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

Consideré los efectos de límite ahora. Entiendo que la ocupación de dos puntos diferentes en el intervalo está correlacionada, pero no veo cómo afectaría la solución.

— Daniel