¿Las hipótesis nulas y alternativas tienen que ser exhaustivas o no?

Vi muchas veces afirmaciones de que tienen que ser exhaustivas (los ejemplos en tales libros siempre se establecieron de esa manera, de hecho lo fueron), por otro lado, también vi muchas veces libros que decían que deberían ser exclusivos ( por ejemplo como y como ) sin aclarar el problema exhaustivo. Solo antes de escribir esta pregunta encontré una declaración algo más fuerte en la página de Wikipedia : "La alternativa no tiene por qué ser la negación lógica de la hipótesis nula". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

¿Podría alguien más experimentado explicar cuál es la verdad, y estaría agradecido por arrojar algo de luz sobre las razones (históricas) de tal diferencia (después de todo, los libros fueron escritos por estadísticos, es decir, científicos, no filósofos).

hypothesis-testing

— Greenoldman
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Respuestas:

En principio, no hay razón para que las hipótesis sean exhaustivas. Si la prueba es sobre un parámetro con siendo la restricción , la alternativa puede ser de cualquier forma siempre que $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Un ejemplo de por qué la exhaustividad no tiene mucho sentido es cuando se comparan dos familias de modelos, versus . En tal caso, la exhaustividad es imposible, ya que la alternativa tendría que cubrir todos los modelos de probabilidad posibles. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
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Gracias, ¿sabe por casualidad por qué es tan común ver este requisito de ser exhaustivo? Además de simples malentendidos, porque este sería uno de los malentendidos más comunes :-).

— greenoldman

No entiendo el ejemplo. Cuando compara dos familias de modelos y entre ellas, parece agotar todos los modelos posibles de la familia. Si permite que el nulo y la alternativa no cubran cada uno de estos modelos, complicará el proceso de evaluación del riesgo teórico de decisión de la prueba (tanto en teoría como en la práctica).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@whuber: leíste mal mi ejemplo. Como se escribió anteriormente, la alternativa está hecha de una familia de modelos bien definida, donde todo el conjunto de valores posibles, en lugar de estar compuesto por todos los modelos de probabilidad posibles. Por lo tanto, esto no es exhaustivo. Esta es una crítica planteada contra el enfoque bayesiano de las pruebas, véase, por ejemplo, la filósofa de la ciencia, Deborah Mayo, en Error e inferencia

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Xi'an

Creo que estoy leyendo tu ejemplo correctamente, Xi'an, pero claramente estoy luchando con lo que quieres decir con "exhaustivo". Su uso en su respuesta y comentarios parece significar "incluye todas las distribuciones de probabilidad", pero en la mayoría de las situaciones de prueba de hipótesis esto no es relevante. En la situación actual, "exhaustivo" debe significar "que comprende todas las distribuciones incluidas en el modelo" (como todas las distribuciones normales para una prueba de teoría normal).

— whuber

La razón principal por la que ve el requisito de que las hipótesis sean exhaustivas es el problema de lo que sucede si el valor del parámetro verdadero está en la región que no está cubierta por la hipótesis nula o alternativa. Luego, la prueba en el nivel de confianza sentido, o quizás peor, su prueba estará sesgada a favor de la nula, por ejemplo, una prueba unilateral de la forma vs. , cuando en realidad . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Un ejemplo: una prueba unilateral para vs de una distribución Normal con conocido y verdadero . Con un tamaño de muestra de 100, una prueba del 95% rechazaría si , pero 0.1645 es en realidad 2.645 desviaciones estándar por encima de la media real, lo que lleva a un nivel de prueba real de aproximadamente 99.6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Además, descarta la posibilidad de sorprenderse y aprender algo interesante.

Sin embargo, también se puede considerar que define el espacio de parámetros como un subconjunto de lo que normalmente podría considerarse el espacio de parámetros, por ejemplo, la media de una distribución Normal a menudo se considera que se encuentra en algún lugar de la línea real, pero si lo hacemos En una prueba unilateral, estamos, en efecto, definiendo el espacio del parámetro para que sea la parte de la línea cubierta por el nulo y la alternativa.

— jbowman
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Gracias, cometiste un error en la redacción, sin embargo, no es exclusivo sino exhaustivo (primera línea).

— greenoldman

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

θ = 0

$\theta = 0$

¿De verdad @whuber? La hipótesis nula en una prueba unilateral es una desigualdad que incluye la cola no probada. ¡Eso tiene mucho más sentido para mí! Pero como dices, fue presentado en mi curso como un punto de igualdad. Gracias por la aclaración.

— James