Problema de color de la bombilla

Primero eche un vistazo al siguiente pequeño problema:

Hay dos bombillas indistinguibles A y B. A parpadea en rojo con el problema .8 y azul con el problema .2; B rojo con .2 y azul .8. Ahora con .5 prob se le presenta con A o B. Se supone que debe observar su color de destello para hacer una mejor suposición (maximizando la probabilidad de adivinar correctamente) qué bombilla es. Sin embargo, antes de comenzar a hacer observaciones, debe decidir cuántas veces desea observarlo (diga n veces, luego observe que parpadea n veces y adivine). Supongamos que los flashes son independientes.

Intuitivamente, uno pensaría que cuantas más observaciones haga, mejores serán las posibilidades. Curiosamente, sin embargo, es fácil calcular que n = 2 no mejora con n = 1, y n = 4 no mejora con n = 3. No fui más lejos pero especulo que n = 2k no mejora con n = 2k-1. No puedo demostrarlo para el caso general. Pero es verdad? Si es así, ¿cómo se puede entender intuitivamente el resultado?

Tienes razón: no mejora con en este caso simétrico.$n=2k$$n=2k-1$

Claramente, la estrategia óptima es mirar la cantidad de destellos rojos y azules y elegir A o B según el color que aparezca más. Si aparece el mismo número de cada uno, no hay ninguna diferencia que adivine, ya que su probabilidad de ser correcto es en esa situación.$0.5$

Si hay una mayoría de un color después de flashes, la mayoría debe ser uniforme y al menos 2, de modo que ese color también tenga una mayoría de al menos 1 después de flashes. Si hay igualdad después de flashes, entonces elegir el color con una mayoría después de flashes es tan bueno como cualquier otra regla de decisión en esta situación. Entonces, con un número par de flashes, el flash final no lo ayuda a mejorar su cambio de adivinanzas correctamente. $2k$$2k-1$$2k$$2k-1$

Para responder de manera rigurosa, este problema se reduce a observar el número de destellos rojos que es un binomial (A) o un binomio (B), con probabilidad para cada uno. La probabilidad de seleccionar el bulbo A viene dada por el teorema de Bayes así que esto es Por lo tanto, A (resp. B) se elige cuando (resp. ). Por lo tanto, cuando$X$$\mathcal{B}(n,.8)$$\mathcal{B}(n,.8)$$0.5$

$$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$$ $$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$$ $n-2x<0$$n-2x>0$$n=2k-1$, la probabilidad de elegir correctamente A es $$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$$