¿Cómo muestrear desde una distribución discreta en los enteros no negativos?

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Tengo la siguiente distribución discreta, donde son constantes conocidas: $\alpha,\beta$

pag (X; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + X)}{Beta (α, β)} para X = 0 0, 1, 2, ...

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

¿Cuáles son algunos enfoques para tomar muestras de manera eficiente de esta distribución?

— jII
fuente

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Esta es una distribución binomial Beta negativa , con el parámetro en su caso, utilizando la notación de Wikipedia. También llamó distribución Beta-Pascal cuando $r=1$ $r$ es un número entero. Como señaló en un comentario, esta es una distribución predictiva en el modelo binomial negativo bayesiano con un Beta conjugado antes de la probabilidad de éxito.

Por lo tanto, puede muestrearlo muestreando una variable y luego muestreando una variable binomial negativa (con en su caso, es decir, una distribución geométrica). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Esta distribución se implementa en el paquete R brr. El muestreador tiene nombre rbeta_nbinom, el pmf tiene nombre dbeta_nbinom, etc. Las anotaciones son , , . Cheque: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Mirando el código, uno puede ver que en realidad llama a la ghyperfamilia (distribuida hipergeométrica) de distribuciones del SuppDistspaquete:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

Ineed, la distribución BNB se conoce como distribución hipergeométrica generalizada de tipo IV . Vea la ayuda de ghyperen el SuppDistspaquete. Creo que esto también se puede encontrar en el libro de Johnson & al . Distribuciones discretas univariantes .

— Stéphane Laurent
fuente

Esta respuesta es excelente, pero sería aún mejor si probaras que la densidad OP publicada es la misma que la densidad binomial negativa.

— Sycorax dice Reinstate Monica el

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@ user777 Creo que el autor de la OP lo demostró él mismo, en vista de su comentario a la respuesta de Xian (distribución predictiva posterior en el modelo binomial negativo con un Beta conjugado anterior).

— Stéphane Laurent

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\frac{Beta (α + 1, β + X)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + X} \frac{β + X - 1}{α + β + X - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{X = 0 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + X)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > tu

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{X} & = \frac{Beta (α + 1, β + X)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + X} \frac{β + X - 1}{α + β + X - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + X - 1}{α + β + X} \frac{β + X - 1}{α + β + X - 1} R_{X - 1} \\ = \frac{β + X - 1}{α + β + X} R_{X - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— Xi'an
fuente

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S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

1

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$ son integrales, entonces la solución es la raíz de un polinomio, pero aun así, usar Gamma puede ser el camino a seguir.

— whuber

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p

$p$