Teorema de Bayes con múltiples condiciones


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No entiendo cómo se derivó esta ecuación.

P(I|M1M2)P(I)P(I)P(M1|I)P(M2|I)P(M1|I)P(M2|I)

Esta ecuación fue del documento "Trial by Probability", donde se dio el caso de OJ Simpson como un problema de ejemplo. El acusado está siendo juzgado por doble asesinato y se presentan dos evidencias contra él.

M1 es el caso de que la sangre del acusado coincida con una gota de sangre encontrada en la escena del crimen. M2 es el caso en que la sangre de una víctima coincide con la sangre en un calcetín que pertenece al acusado. Asumiendo la culpa, la aparición de una evidencia aumenta la probabilidad de la otra. I es el caso de un acusado es inocente, mientrasI es cuando se hace culpable.

Estamos tratando de obtener el TECHO de la probabilidad de que el acusado sea inocente dadas las dos evidencias.

Se dieron valores para algunas variables, pero lo que me interesa es cómo se derivó la ecuación. Lo intenté pero no llegué a ninguna parte.

Sí, ya he marcado las 'Preguntas que pueden tener tu respuesta'.


¿Cuál es el significado de ? ¿ Soy yo c ? IIc
Xi'an

@ Xi'an sí es que c en otra notaciónIIc
Sakurabe

Respuestas:


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Por el teorema de Bayes: Ahora el documento que proporcionó argumenta que

P(IM1M2)=P(I)P(M1M2I)P(M1M2)=P(I)P(M1M2I)P(I)P(M1M2I)+P(I)P(M1M2I).

Si es cierto, entonces M 1 yIM1 son independientes. Pero suponiendo culpa, la ocurrencia de uno aumentaría la probabilidad del otro.M2

Entonces y P ( M 1M 2I ) = P ( M 1M 2I ) P ( M 2I ) P

(1)P(M1M2I)=P(M1I)P(M2I),
M 2 )Por lo tanto, P ( I M 1
(2)P(M1M2I)=P(M1M2I)P(M2I)P(M1I)P(M2I).
P(IM1M2)=P(I)P(M1I)P(M2I)P(I)P(M1M2I)+P(I)P(M1M2I)(Substitute with (1))P(I)P(M1I)P(M2I)P(I)P(M1M2I)(Lesser Denominator)P(I)P(I)P(M1I)P(M2I)P(M1I)P(M2I).(Substitute with (2))

(2)

P(M1M2I)P(M2I)=P(M1M2I)/P(I)P(M2I)/P(I)=P(M1M2I)P(M2I)=P(M1M2I)
M2M1
P(M1M2I)P(M1I)

2
I wanna first thank you for taking the time to help. But I'm still a bit confused. Could you please add equation numbers and indicate where you apply earlier equations in later substitutions? Things are starting to make sense but I still don't get the inequality after the 'and', and the part where you substitute in the denominator and the whole thing becomes an inequality. I'm guessing an explanation on how the quoted argument from the paper is translated mathematically would help. Thanks again!
Sakurabe

@Sakurabe: better?
Francis

Okay, now I got how the evidences reinforce each other. Last question, did we just drop P(I)P(M1M2|I) from the denominator? As in drop without a theorem or anything? I mean, it does make some sense since it wouldn't reverse the resulting inequality from (2) plus it is also what I assumed they did in an earlier example in the paper involving only one DNA evidence (with the +1 in the denominator). Thanks, I really appreciate your help.
Sakurabe

@Sakurabe: Yes, because that term is non-negative, so dropping it will decrease the denominator.
Francis
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