Para la intuición, ¿cuáles son algunos ejemplos de la vida real de variables aleatorias no correlacionadas pero dependientes?

Al explicar por qué no correlacionado no implica independiente, hay varios ejemplos que involucran un montón de variables aleatorias, pero todas parecen tan abstractas: 1 2 3 4 .

Esta respuesta parece tener sentido. Mi interpretación: una variable aleatoria y su cuadrado pueden no estar correlacionados (ya que aparentemente la falta de correlación es algo así como la independencia lineal) pero son claramente dependientes.

Supongo que un ejemplo sería que (¿estandarizado?) La altura y la altura podrían no estar correlacionadas pero ser dependientes, pero no veo por qué alguien querría comparar la altura y la altura . $^2$ $^2$

Con el propósito de dar intuición a un principiante en teoría de probabilidad elemental o propósitos similares, ¿cuáles son algunos ejemplos de la vida real de variables aleatorias no correlacionadas pero dependientes?

— BCLC
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Esto no responde a su pregunta, pero parece relevante: a veces un rv y su cuadrado están correlacionados y otras veces no correlacionados. Por ejemplo, si X es uniforme en [0,1], entonces X y X ^ 2 no están correlacionados. Pero si X es uniforme en [-1, 1], entonces X y X ^ 2 no están correlacionados. (Dibuje una imagen para ayudar a ver esto). Sin embargo, en ambos casos, X y X ^ 2 son dependientes.

— Martha

@ Martha hay un error tipográfico en tu comentario. Creo que es el primer 'no correlacionado' que debería estar 'correlacionado'. ;)

— Un anciano en el mar.

@Anoldmaninthesea correlacionado ya veces correlacionado?

— BCLC

@BCLC "si X es uniforme en [0,1], entonces X y X ^ 2 no están correlacionados". Debería ser "si X es uniforme en [0,1], entonces X y X ^ 2 están correlacionados", creo.

— Un viejo en el mar.

@Anoldmaninthesea Tiene razón: correlacionado en [0,1], pero no correlacionado en [-1,1]. Gracias por señalar el error tipográfico.

— Martha

Respuestas:

En finanzas, aquí se citan ampliamente los efectos GARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada) : rendimientos de las acciones , con el precio en el momento , ellos mismos no están correlacionados con su propio pasado si los mercados de valores son eficientes (de lo contrario, podría predecir fácil y rentablemente hacia dónde van los precios), pero sus cuadrados y $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ $r_t^2$ no lo son: existe una dependencia del tiempo en las variaciones, que se agrupan en el tiempo, con períodos de alta variación en tiempos volátiles. $r_{t-1}^2$

Aquí hay un ejemplo artificial (una vez más, lo sé, pero las series "reales" de devolución de acciones pueden parecer similares):

Usted ve el grupo de alta volatilidad alrededor en particular . $t\approx400$

Generado usando

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

— Christoph Hanck
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Gracias valiente rey reno picante Hanck. ¿Un poco de rigor por favor? ^ - ^ Por rendimiento de existencias, ¿quiere decir Rt = (St + 1-St) / St? Cuadrados de St o cuadrados o Rt?

— BCLC

He añadido una pequeña aclaración

— Christoph Hanck

¿Eso es R?

$\$

— BCLC

Es R. Requiere el paquete TSA .

— toliveira

Un ejemplo simple es una distribución bivariada que es uniforme en un área con forma de rosquilla. Las variables no están correlacionadas, pero son claramente dependientes; por ejemplo, si sabe que una variable está cerca de su media, entonces la otra debe estar distante de su media.

— rvl
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¿Cuáles son exactamente las dos variables?

— BCLC

Las dos variables aleatorias.

X

$X$ y

Y

$Y$ cuya distribución conjunta es uniforme en la rosquilla. Para un ejemplo específico, considere la densidad conjunta

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$ cuando

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$ y

0

$0$ de otra manera.

— rvl

Bueno, supongo que los ejemplos de física son de la vida real. Gracias rvl. ¿Por qué es cierto tu ejemplo?

— BCLC

Dibuje un gráfico de la región donde la densidad no es cero y piense en ello.

— rvl

Encontré que la siguiente figura de wiki es muy útil para la intuición. En particular, la fila inferior muestra ejemplos de distribuciones no correlacionadas pero dependientes.

Leyenda de la gráfica anterior en wiki: varios conjuntos de puntos (x, y), con el coeficiente de correlación de Pearson de x e y para cada conjunto. Tenga en cuenta que la correlación refleja el ruido y la dirección de una relación lineal (fila superior), pero no la pendiente de esa relación (centro), ni muchos aspectos de las relaciones no lineales (fondo). NB: la figura en el centro tiene una pendiente de 0 pero en ese caso el coeficiente de correlación no está definido porque la varianza de Y es cero.

— Yuqian
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