Conjetura relacionada con la ley de Kolmogorov 0-1 (para eventos)

Sea un espacio de probabilidad. Conjetura: $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$

Supongamos que tenemos eventos st , o . Existe una secuencia independiente de eventos st $A_1, A_2, ...$ $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$ $P(A) = 0$ $1$ $B_1, B_2, ...$

$τ_{A_{n}} := ⋂_{n} σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) = ⋂_{n} σ (B_{n}, B_{n + 1}, . . .) := τ_{B_{n}}$ $\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$

¿Es esto cierto?

Creo que existe una función st 's son independientes, por lo que podemos elegir . ¿Es eso cierto? ¿Por qué por qué no? Si no, ¿de qué otra manera puedo probar o refutar la conjetura anterior? Si es cierto, creo que se puede probar modificando la prueba de la Ley Kolmogorov 0-1 (para eventos). $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $A_{f(n)}$ $B_n = A_{f(n)}$

Quizás una de estas subsecuencias de conjuntos es independiente:

A_{n}

$A_n$

A_{2 n}, A_{2 n + 1}

$A_{2n}, A_{2n+1}$

A_{3 n}, A_{3 n + 1}, A_{3 n + 2}

$A_{3n}, A_{3n+1}, A_{3n+2}$

⋮

$\vdots$

A_{m n}, A_{m n + 1}, A_{m n + 2}, . . ., A_{m n + (m - 1)}

$A_{mn}, A_{mn+1}, A_{mn+2}, ..., A_{mn+(m-1)}$

⋮

$\vdots$

Creo que tenemos eso

τ_{A_{n}} = τ_{A_{m n + i}} := ⋂_{n} σ (A_{m n + i}, A_{m (n + 1) + i}, . . .)

$\tau_{A_n} = \tau_{A_{mn+i}} := \bigcap_n \sigma(A_{mn+i}, A_{m(n+1)+i}, ...)$

donde e . $m \in \mathbb N$ $i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

Parece que necesitamos tal , si existe, para satisfacer la siguiente condición: $f(n)$

\begin{matrix} (**) & σ (A_{f (n)}, A_{f (n + 1)} . . .) \subseteq σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) \end{matrix}

$\sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}...) \subseteq \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) \tag{**}$

lo que supongo es cierto si (y solo si?) $f(n) \ge n$ .

Otros posibles candidatos para : $f(n)$ (suponga que las variables son st se cumple. Si es necesario, o también). $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $(**)$ $f(n) \ge n$

$\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$
$2^n, 3^n, ...$
$\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$
$\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ ( supongo que $t > e^{1/e}$ )
$\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$
$\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$
$\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

Suponiendo que la conjetura es cierta , supongo que no es necesario encontrar que funcione para todas las secuencias posibles de eventos porque tal puede que ni siquiera exista. $f(n)$ $A_1, A_2, ...$ $f(n)$

Para refutar la conjetura : supongo que debemos demostrar que dicha secuencia siendo independiente implica que tail nunca será igual a tail ya que tail será trivial por la ley de Kolmogorov 0-1 (para eventos). $B_n$ $B_n$ $A_n$ $B_n$ $\mathbb P-$

Algo que podría ayudar: podríamos mostrar que o y no es independiente, pero no estoy seguro de que la conjetura sea refutada porque podría construir algunos que se vean así: $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$ $1$ $\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$ $B_n$

$B_{n} = A_{n + 1} ∖ A_{n}$ $B_n = A_{n+1} \setminus A_n$
$B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}, A_{0} = \emptyset$ $B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$
$B_{n} = ⋂_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcap_m A_{mn}$
$B_{n} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{2 n} = ⋂_{m} A_{m n}, B_{2 n + 1} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}$ $B_n = \limsup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_n = \liminf_m A_{mn}$
$B_{2 n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}, B_{2 n + 1} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$

No quiere decir, por supuesto, que ninguno de esos satisfaga pero que no necesita estar en la forma . $B_n$ $\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$ $B_n$ $A_{f(n)}$

Borel-Cantelli:

Si . Por tanto, es independiente. $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$ $B_m = \limsup A_{mn}$
Si , entonces tal vez esta extensión de Borel-Cantelli ? No estoy seguro de entenderlo o de cómo sería útil. No creo que podamos concluir nada si tenemos . $\sum_n P(A_n) = \infty$ $P(\limsup A_n)$
Luego está el caso de pero las condiciones anteriores no se cumplen. $\sum_n P(A_n) = \infty$

— BCLC
fuente

¿Quizás una prueba por construcción, donde ?

B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}, \dots

$B_1 = A_1, B_2 = A_2 - A_1, \dots$

— jbowman

Para mí, esta conjetura parece poco probable que sea cierta a menos que agregue condiciones adicionales, o quiera decir que las dos terminaciones de álgebra están de acuerdo (lo que es casi trivial). Sin embargo, no puedo ver un contraejemplo.

σ

$\sigma$

— P.Windridge

En cualquier caso, creo que puede comenzar con la pregunta (más simple): "Sea un espacio de probabilidad. Suponga que es un álgebra generado de forma contable y que o para cualquier evento . ¿Hay una secuencia de eventos independientes en con cola álgebra ?

(Ω, F, P)

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

G \subset F

$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

P (A) = 0

$\mathbb{P}(A)= 0$

1

$1$

A \in G

$A \in \mathcal{G}$

B_{1}, B_{2}, \dots

$B_1,B_2,\ldots$

F

$\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

— P.Windridge

Un álgebra se genera contablemente si existe st . Es sencillo encontrar ejemplos en los que la cola álgebra no se genera de forma contable.

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

F_{1}, F_{2}, \dots

$F_1,F_2,\ldots$

G = σ (F_{1}, F_{2}, \dots)

$\mathcal{G} = \sigma(F_1,F_2,\ldots)$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

De manera más general, ¡un sub- álgebra de un álgebra generado contablemente puede no generarse contablemente! Realmente mire el ejercicio 1.1.18 en math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Si desea eventos que sean independientes de una manera interesante (no simplemente porque o ), entonces la conjetura es falsa. $B_n$ $\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}(B_n) = 1$

Aquí hay un ejemplo pedante. Suponga que es un espacio de probabilidad adecuadamente rico. $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Deje que sea -nulo, es decir, . Tome , de modo que la cola álgebra sea . $A \in \mathcal{F}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}(A) =0$ $A_i = A$ $\sigma$ $\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

Tenga en cuenta que en particular es finito. $\mathcal{G}$

Ahora, suponga que es una secuencia independiente de eventos con delimitada por y . Entonces la cola álgebra no se genera contablemente. (Véase, por ejemplo, el ejercicio 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , que utiliza un argumento como el que describí anteriormente: cualquier -trivial -algebra generado de forma contable un átomo de masa , pero no tiene tal átomo). $B_1, B_2, \ldots$ $\mathbb{P}(B_n)$ $0$ $1$ $\sigma$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $1$ $\mathcal{H}$

Entonces, es finito pero ni siquiera se genera de manera contable. $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$

Edición 2: si acepta $\mathbb{P}(B_n) = 0$ , puede replicar cualquier -trivial álgebra generado de forma contable . Con más detalle, suponga que es generado por los eventos . Si es -trivial, entonces son todos independientes, en virtud de ser nulo (o es nulo). Ahora haga una construcción triangular para los eventos : , , . $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $E_n$ $E_n^c$ $B$ $B_{1,1} = E_1$ $B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$ $1\le j \le k$

Entonces es una secuencia contable (con ordenamiento natural para los índices) de eventos independientes cuya cola álgebra es . $(B_{k,j})$ $\sigma$ $\mathcal{G}$

Entonces, aquí creo que es la pregunta clave: supongamos que es un -trivial tail -algebra generado de manera no contable (proveniente de eventos no nulos que podrían ser dependientes). ¿Se puede realizar como la cola álgebra para algunos eventos nulos? $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $\sigma$

Edición 1: un área gris es lo que sucede si acepta , aunque ese no parece ser el objetivo de la pregunta original. $\mathbb{P}(B_n)\to 0$

— P.Windridge
fuente

Gracias P.Windridge, pero no estoy seguro de entenderlo. 1 Si incluimos o , ¿la conjetura es (trivialmente?) Verdadera? 2 ¿Es lo que estás tratando de probar en Edit 2? Si es así, ¿es su igual a mi ? Edité OP para taquigrafía

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

1

$1$

G

$\mathcal G$

τ_{A_{n}}

$\tau_{A_n}$

— BCLC

Yo leo el ejercicio. ?

H = τ_{B_{n}}

$\mathcal H = \tau_{B_n}$

— BCLC

Hola BCLC, (1) Estoy diciendo que si incluimos entonces la conjetura es verdadera para todas las elecciones de los eventos que tienen una "bonita" cola álgebra (donde "agradable" aquí significa contable generado). (2) Sí y es su . Nota: el ejercicio vinculado usa " " para lo que debería ser tu , y " " denota una secuencia candidata de eventos generadores (utilizada para obtener una contradicción.

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

A_{1}, A_{2}, \dots

$A_1,A_2,\ldots$

σ

$\sigma$

G = τ_{(A_{n})}

$\mathcal{G}=\tau_{(A_n)}$

H

$\mathcal{H}$

τ_{(B_{n})}

$\tau_{(B_n)}$

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

B_{n}

$B_n$

— P.Windridge

No estoy seguro de seguirlo. Solo por los supuestos, ¿los SON independientes?

A_{i}

$A_i$

— BCLC

En el ejercicio 1.1.18 de math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , los son eventos independientes, que debe considerar como los en su conjetura. ¿Es eso lo que preguntabas?

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$

— P.Windridge el