¿La transformación monótona invertible de un intervalo de confianza le da un intervalo de confianza (al mismo nivel) en el espacio transformado?

Suponer

(a, b)

$(a,b)$

es un $(1-\alpha)$ intervalo de confianza de nivel para un parámetro $\theta$ . Suponer $\eta$ Es una transformación monótona invertible. Entonces es

(η (a), η (b))

$\left (\eta(a), \eta(b) \right )$

una $(1-\alpha)$ intervalo de confianza de nivel para $\eta(\theta)$ ? Suponga que el parámetro y los puntos finales del intervalo de confianza son todos números reales.

La respuesta parece intuitivamente ser "Sí" por razones similares a las razones por las que puede transformar variables aleatorias haciendo cosas como, si $Y = g(X)$ , entonces

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq g^{- 1} (y))

$P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = P(X \leq g^{-1}(y) )$

También podría estar relacionado con el teorema de mapeo continuo, como se aplica a los MLE.

Esto no es tarea y está surgiendo en el contexto de si puedo obtener un 95% para las probabilidades de registro, luego transformarlo de nuevo y llamarlo un 95% para la probabilidad.

Gracias

confidence-interval

— Descarado
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Según la definición de intervalo de confianza,

Pr (θ \in (a, b)) = 1 - α

$\Pr(\theta\in (a,b))=1-\alpha$ (con y visto como las variables aleatorias). Entonces, ¿cómo se relacionan y ?

a

$a$

b

$b$

Pr (θ \in (a, b))

$\Pr(\theta\in (a,b))$

Pr (η (θ) \in (η (a), η (b)))

$\Pr(\eta(\theta)\in (\eta(a),\eta(b)))$

— whuber

Creo que en el momento en que escriba una definición formal de "monotono" verá la solución.

— whuber

Aplique lo que acaba de escribir a y a para concluir el conjunto de valores para los cuales es también el conjunto de valores para el cual . Si está calculando la probabilidad de exactamente el mismo subconjunto de valores en cada caso ... seguramente las probabilidades deben ser las mismas. [Si puede verlo para el caso , ¿qué es diferente ahora?]

b > X

$b>X$

X > a

$X>a$

a < X < b

$a<X<b$

η (a) < η (X) < η (b)

$\eta(a) < \eta(X) < \eta(b)$

X

$X$

η (X) = X^{2}

$\eta(X)=X^2$

— Glen_b -Reinstale a Monica el

El problema puede surgir debido a cómo interpreta el CI resultante. Si toma un CI para una media y lo transforma, sigue siendo un CI válido, pero no es un CI para la media en la escala transformada, es un CI para una media transformada (algo bastante diferente). .eg si tomo registros, me ajusto a un modelo, encuentro un IC para la media en la escala logarítmica, puedo transformar ese intervalo de manera feliz, pero no es un IC para la media en la escala original no registrada , sino un IC para el exponencial mean-of-logs ..

— Glen_b -Reinstate Monica

Por favor, responda a su pregunta. (Sería un desperdicio para Whuber o para mí obtener reputación por responder una pregunta que usted puede responder.)

— Glen_b -Reinstale a Monica el

Sí, porque

PAGS (una < X < si) = PAGS (η (una) < η (X) < η (si))

$P(a < X < b) = P \Big( \eta(a) < \eta(X) < \eta(b) \Big)$

para una variable aleatoria y una función monótona estrictamente creciente, . Por un argumento similar, si es una función monótona estrictamente decreciente, entonces el intervalo transformado se convierte en . $X$ $\eta$ $\eta$ $(\eta(b),\eta(a))$

— Descarado
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Sé que OP mencionó monótono e invertible, así que para completar, solo digamos estrictamente monótono creciente, de lo contrario, esto no será cierto.

— Alex R.