Definición matemática de las asintóticas de relleno

Estoy escribiendo un documento que utiliza asintóticos de relleno y uno de mis revisores me ha pedido que proporcione una definición matemática rigurosa de lo que son los asintóticos de relleno (es decir, con símbolos matemáticos y notación).

Parece que no puedo encontrar nada en la literatura y esperaba que alguien pudiera señalarme en la dirección de algunos o proporcionarme una definición autoescrita.

Si no está familiarizado con las asintóticas de relleno (también llamadas asintóticas de dominio fijo), son las siguientes: Las asintóticas de relleno se basan en observaciones que se vuelven cada vez más densas en alguna región fija y limitada a medida que aumenta su número.

Dicho de otro modo, los asintóticos de relleno es donde se recopilan más datos mediante un muestreo más denso en un dominio fijo.

Ya he visto Stein 1999 y Cressie 1993, pero no hay nada "matemáticamente" riguroso allí.

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Aquí está el pasaje citado de mi artículo.

Por lo tanto, es importante reconocer el tipo de asintóticos con los que estamos tratando. En nuestro caso, las asintóticas con las que tratamos se basan en observaciones que se vuelven cada vez más densas en algunas regiones fijas y limitadas a medida que aumenta su número. Estos tipos de asintóticos se conocen como asintóticos de dominio fijo (Stein, 1999) o asintóticos de relleno (Cressie, 1993). Los asintóticos de relleno, donde se recopilan más datos al muestrear más densamente en un dominio fijo, desempeñarán un papel clave para ayudarnos a desarrollar un argumento para ...

Impotrante de notar, estoy muestreando mis observaciones usando el muestreo latino de hipercubos.

Esto es lo que el libro de Cressie tiene que decir sobre las asintóticas de relleno.

La definición de asintóticos de relleno no es particularmente útil (técnicamente, si el dominio permanece fijo y el tamaño de la muestra aumenta, es decir, los asintóticos de relleno. Pero considere el caso en el que muestrea en un transecto de 0 a 1, tomando una muestra en 0,1 / 2, otra muestra en 1 / 2,3 / 4, otra en el intervalo 3/4, 7/8, etc. Podrá decir mucho sobre los valores en 1, pero no podrá decir mucho más.)

Para obtener un resultado típico en asintóticos de relleno, necesita un diseño con propiedades como: para todas las subregiones del área , para cualquier ϵ $\epsilon$ , la probabilidad de que ocurra una muestra en la subregión se aproxima a 1 como n → ∞ . Tal muestra es densa en el dominio.$\epsilon>0$$n\rightarrow\infty$

A veces, el relleno no se proporciona explícitamente, solo se proporciona un diseño. Por ejemplo, en el artículo de Lahiri (Sobre la inconsistencia de los estimadores basados ​​en datos espaciales bajo asintóticos de relleno), describe un diseño que es esencialmente una cuadrícula 'nerviosa' (cierta aleatoriedad como el nivel pequeño, pero generalmente basado en el muestreo en hiper rectangular subregiones) que es asintóticamente denso en el dominio fijo. Obtiene el resultado (común para problemas de relleno) de que la mayoría de los parámetros de variograma se estiman de manera inconsistente.

Lahiri, Lee y Cressie (Sobre la distribución asintótica y la eficiencia asintótica de los estimadores de mínimos cuadrados de los parámetros del variograma espacial, J.StatPlanInf 2002, vol. 103, pp. 65-85) consideran de manera similar las rejillas de relleno que se vuelven sistemáticamente más próximas entre sí, nuevamente, produciendo Una muestra densa.

(El resultado general para muestras densas es que, dado que los asintóticos de relleno realmente son una sola realización de un proceso espacial, el único parámetro del variograma verdadero (superpoblación) que se puede estimar consistentemente es la pendiente a cero, pero las predicciones son cada vez más buenas. )

Comencemos con una definición de muestreo de hipercubo latino, solo para aclarar las cosas perfectamente y establecer una notación. Entonces podemos definir asintóticos de relleno.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$$N \ge 1$$\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$$N^d$

$$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$$

$0 \le i_j \lt N$$j$

$N$$S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

$$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$$

$d$$2$$N$$S$$N$

$$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$$ de (ubicación, observación) valores.

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Asintóticos de relleno

$t_N$$X(N)$$N$$\mathcal{B}$$t_N(X(N))$$N$

$$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$$

$N$