Transformando estadísticas de orden

Suponga que las variables aleatorias e son independientes y distribuidas. Demuestre que tiene un distribución de . $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

He comenzado este problema configurando $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Entonces el $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ se distribuiría como $(\frac{z}{a})^{2n}$ y $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ se distribuiría como $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Las densidades se pueden encontrar fácilmente como $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ y $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Aquí es donde me cuesta saber a dónde ir ahora que están calculados. Estoy pensando que tiene que hacer algo con una transformación, pero no estoy seguro ...

self-study data-transformation order-statistics

— Susan
fuente

Seguramente debe asumir además que

X_{i}

$X_i$ e

Y_{i}

$Y_i$ iid no solo son

, sino que

X_{i}

$X_i$ son independientes de

Y_{j}

$Y_j$ . Dado eso, ¿ha pensado en trabajar directamente con el

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@whuber mi pensamiento de tu comentario sería configurar una transformación donde resuelva la densidad de n * log (Z )?

_{i}

$_i$

— Susan

Realicé un pequeño formateo (especialmente convirtiendo y en y ) pero si no le gusta cómo es, puede volver a la versión anterior (haciendo clic en el enlace "editado <x> ago" encima de mi gravatar en la parte inferior de su publicación) y luego haga clic en el enlace "retroceder" sobre su versión anterior.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b -Reinstate Monica

Susan, pareces haber malinterpretado / leído mal la pregunta. La pregunta busca la razón de El denominador se refiere a : donde es el estadístico de orden máximo de s, y es el estadístico de orden máximo de s. En otras palabras, busca min (maxX, maxY), NO el mínimo de todas las sy s, por lo que no puede usar su truco Z para aplanar / combinar todos los valores X e Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies

En cualquier caso, y como cuestión separada, no tiene sentido (como lo ha hecho) calcular la densidad de , y por separado la densidad de , porque las diferentes estadísticas de orden no son Generalmente independiente. Para encontrar la relación de , primero se necesita encontrar el pdf conjunto de , si ese fuera el problema a mano (que no es).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— Wolfies

Respuestas:

Este problema se puede resolver solo con las definiciones: el único cálculo avanzado es la integral de un monomio.

Observaciones preliminares

Trabajemos con las variables e largo: esto no cambia pero hace iid con distribuciones Uniformes , eliminando todas las apariencias distractoras de en los cálculos. Por lo tanto, podemos suponer sin ninguna pérdida de generalidad. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Tenga en cuenta que la independencia de y su distribución uniforme implica que para cualquier número para el cual , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

con un resultado idéntico para . Para referencia futura, esto nos permite calcular $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Solución

Sea un número real positivo. Para encontrar la distribución de , sustituya su definición y simplifique la desigualdad resultante: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Este evento se divide en dos casos equiprobables, dependiendo de si o es el menor de los dos (y su intersección, con probabilidad cero, puede ignorarse). Por lo tanto, solo necesitamos calcular la posibilidad de uno de estos casos (digamos donde es el más pequeño) y duplicarlo. Dado que , , lo que nos permite (al dejar que desempeñe el papel de ) para aplicar los cálculos en la sección preliminar: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{norte} > t) = 2 Pr ({mi}^{- t / / norte} X_{(norte)} > Y_{(norte)}) = 2 mi [{({mi}^{- t / / norte} X_{(norte)})}^{norte}] = {mi}^{- t} mi [2 X_{(norte)}^{norte}] = {mi}^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Eso es lo que significa que tenga una distribución Exp . $Z_n$ $(1)$

— whuber
fuente

Voy a esbozar la solución, aquí usando un sistema de álgebra de computadora para hacer lo esencial ...

Solución

Si es una muestra de tamaño en la matriz , entonces el pdf de la muestra máxima es: y de manera similar para . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

F_{norte} (X) = \frac{norte}{{una}^{norte}} X^{norte - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Enfoque 1: Encuentre el pdf conjunto de $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Dado que e son independientes, el pdf conjunto de los 2 máximos de muestra es simplemente el producto de los 2 pdf, digamos : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Dado . Entonces, el cdf de es es: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

donde estoy usando la Probfunción del paquete mathStatica para que Mathematica se automatice. Al diferenciar el cdf wrt obtiene el pdf de como Exponencial estándar. $z$ $Z_n$

Enfoque 2: estadísticas de pedidos

Podemos usar las estadísticas de pedidos para 'evitar' la mecánica de tener que lidiar con las funciones Max y Min.

Una vez más: si es una muestra de tamaño en la matriz , entonces el pdf de la muestra máxima es, digamos, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Los máximos de muestra e son solo dos dibujos independientes de esta distribución de ; es decir, las estadísticas de orden y de (en una muestra de tamaño 2) son justo lo que estamos buscando: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

El pdf conjunto de , en una muestra de tamaño 2, digamos , Es: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Dado . Entonces, el cdf de es es: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

La ventaja de este enfoque es que el cálculo de probabilidad ya no involucra las funciones max / min, lo que puede hacer que la derivación (especialmente a mano) sea algo más fácil de expresar.

Otro

Según mi comentario anterior, parece que has malinterpretado la pregunta ...

Se nos pide encontrar:

Z_{norte} = norte Iniciar sesión \frac{max (Y_{(norte)}, X_{(norte)})}{min (Y_{(norte)}, X_{(norte)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

donde el denominador es min (xMax, yMax), ... no el mínimo de todas las 'e ' s. $X$ $Y$

— lobos
fuente

Siguiendo su bosquejo, entiendo cómo interpreté mal la pregunta. Entiendo cómo calcular el pdf conjunto de los dos máximos de muestra, pero todavía no estoy seguro de cómo debemos interpretar la relación de max / min.

— Susan

He agregado una derivación alternativa usando estadísticas de pedido, que 'evita' el máximo / mínimo.

— Wolfies

Si hubiera comenzado con los registros de los datos, Susan, estaría observando las diferencias de las estadísticas de pedidos en lugar de las proporciones .

— whuber

No estoy convencido de que el uso de cálculos formales por computadora sea la mejor manera de explicar la razón por la cual la relación es una variable aleatoria Exp (1).

— Xi'an

Buen punto ... excepto que el OP no pregunta la razón ... sino para mostrar que es Exp [1]. Tampoco estoy seguro de si esto es o no tarea (o una tarea) ... y esa es realmente una buena ventaja de usar una computadora: uno proporciona los pasos a seguir, verifica el resultado, para que uno tenga el enfoque correcto , pero la mecánica aún se deja al OP. Sería bueno que alguien explore la sugerencia de @ whuber de tomar registros al principio.

— Wolfies