Si y , ¿es ?

9

Esto no es tarea.

Deje $X$ ser una variable aleatoria. Si $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ y $\text{Var}[X] = 0$ , ¿se deduce que $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitivamente, esto parece obvio, pero no estoy seguro de cómo lo probaría. Sé con certeza que de los supuestos se deduce que $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Entonces

{(\int_{R} X re F (X))}^{2} = \int_{R} X^{2} re F (X) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Esto no parece llevarme a ningún lado. Podría intentar

Var [X] = mi [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Ahora desde

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , se deduce que

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ también.

Pero si tuviera que usar la igualdad,

mi [{(X - k)}^{2}] = 0 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ entonces mi instinto es que

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , de modo que

X \equiv k

$X \equiv k$ .

¿Cómo sabría esto? Supongo una prueba por contradicción.

Si, por el contrario, $X \neq k$ para todos $X$ , entonces $(X-k)^2 > 0$ , y $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ para todo $X$ . Tenemos una contradicción, entonces $X \equiv k$ .

¿Suena bien mi prueba? Y si es así, ¿hay quizás una mejor manera de probar esta afirmación?

probability

— Clarinetista
fuente

@ user777 Probé ese método originalmente (como puede ver en mi ecuación), pero no estaba seguro de cómo proceder.

\int_{R} X re F (X) = \int_{R} X^{2} re F (X)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetista

3

Creo que la desigualdad de Chebyshev responde a esta pregunta de inmediato.

— whuber

@whuber: al menos la declaración de Wikipedia de la desigualdad de Chebyshev requiere explícitamente una variación distinta de cero . Realmente no veo si necesitamos algún tipo de prueba elemental para el caso de varianza cero ...

— Stephan Kolassa

1

@Stephan Puede mezclar fácilmente cualquier distribución no degenerada con rango y aplicar la desigualdad para mostrar que para todos y todo .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Aquí hay una prueba teórica de medida para complementar a los demás, utilizando solo definiciones. Trabajamos en un espacio de probabilidad . Observe que y considere la integral . Suponga que para algunos , existe manera que en y . Entonces aproxima a desde abajo, así que según la definición estándar de como el supremum de integrales de funciones simples que se aproximan desde abajo, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ cual es una contradicción. Por lo tanto, , . Hecho.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
fuente

5

Demuestre esto por contradicción. Por la definición de la varianza y sus suposiciones, tienes

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

donde es la densidad de probabilidad de . Tenga en cuenta que tanto como no son negativos. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Ahora, si , entonces $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

tiene una medida mayor que cero, y . Pero entonces $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(se podría incluir aquí un argumento de estilo ) y, por lo tanto, $\epsilon$

0 0 = Var X = \int_{R} (X - k)^{2} F (X) re X \geq \int_{U} (X - k)^{2} F (X) re X > 0 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

y tu contradicción

— Stephan Kolassa
fuente

2

¿Qué es ? ¿Es lo mismo que como? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

De todos modos, es obvio que

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Suponer

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Entonces

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Creo que el último paso implica la continuidad de la probabilidad ... o lo que hiciste (tienes razón).

También hay desigualdad de Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Buen hablar de nuevo .

Por cierto, ¿por qué es eso?

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Me parece que mientras $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
fuente

1

Sí, tienes razón. He editado la publicación

— Clarinetista

@Clarinetist Editado el mío también: P

— BCLC