Las probabilidades son simples

Tengo problemas para entender las probabilidades, y me gustaría una explicación básica sobre cómo interpretarlas.

He encontrado varias publicaciones relacionadas con las probabilidades, pero la mayoría de ellas son más complejas de lo que estoy tratando de entender. Aquí hay un ejemplo de cómo interpreto las probabilidades: si las probabilidades de que ocurra un evento son de 3 a 1, entonces el evento ocurrirá 3 veces por cada 1 vez que no suceda. No sé si esta interpretación sería correcta. Por lo tanto, cualquier orientación y más ejemplos sobre la interpretación de las probabilidades serían muy apreciados.

En otro hilo hay una respuesta mucho más amplia de @gung que también se ocupa de cuestiones técnicas relacionadas, como la razón de probabilidades, pero voy a seguir con el tema en cuestión: cómo interpretar las probabilidades, y particularmente la formulación " a b ". Como pregunta para principiantes, vale la pena pensar cómo se expresan las "probabilidades" en el discurso cotidiano (especialmente en el lenguaje de las apuestas), así como qué significan las probabilidades para un estadístico, porque las discrepancias entre los dos son problemáticas para los estudiantes.$a$$b$

Para las probabilidades expresadas por un estadístico , su argumento es correcto. Supongamos que una bolsa contiene cuatro fichas, de las cuales tres son de y una es marrón , y una ficha se selecciona al azar. La probabilidad de que la ficha seleccionada sea aguamarina es 3 de 4, es decir, $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$ , a menudo se lee "3 en 4". Con resultados igualmente probables, lasprobabilidadespara la aguamarina se calcularían como el número de resultados favorables (3) dividido por el número de resultados desfavorables (1), que es$\frac{3}{4}$, a menudo se lee comotres a unoo simplemente como el número "tres". En términos más generales, podría tomar la fracción de "resultados favorables sobre resultados desfavorables" y cancelar (dividir) tanto el numerador como el denominador por el número total de resultados, para obtener "la probabilidad de un resultado favorable sobre la probabilidad de un resultado desfavorable", de la que da un poco de álgebra:$\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Las probabilidades expresadas por un corredor de apuestas generalmente se citan como "probabilidades contra" o "probabilidades sobre", y la forma en que se escriben parece ser una causa común de confusión. En las llamadas cuotas británicas , cuotas fraccionales o probabilidades tradicionales , las probabilidades para la aguamarina se escribirían "3/1 en" o "3-1 en", leídas como . * Para un jugador, el hecho de que estos son "odds on" indica que una apuesta de £ 3 en aguamarina devolvería una ganancia de £ 1 si tiene éxito (en realidad reciben £ 4, de las cuales £ 3 es simplemente el retorno de la apuesta original) mientras que una apuesta fallida resulta en la pérdida de Estaca de £ 3. Podemos ver que estas son " probabilidades justas$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$"porque el jugador tiene tres posibilidades de ganar £ 1 y una oportunidad de perder £ 3, por lo que, en promedio, no hay ganancias o pérdidas esperadas. Hasta ahora, hay muy poca discrepancia:" probabilidades en "son simplemente las" probabilidades a favor "preferidas por estadísticos.

Para eventos con una probabilidad del 50%, como caras en el lanzamiento de una moneda, dos resultados igualmente probables de éxito o fracaso, un estadístico diría que las probabilidades son "uno a uno", o simplemente1,mientras que una casa de apuestas justa daría una probabilidad fraccional de 1/1 (leída como "pares"). Así que tampoco hay problemas aquí; sin embargo, cuando la probabilidad cae por debajo del 50%, vemos que la casa de apuestas reanuda la cita del número mayor en la proporción anterior al menor.$\frac{1}{1}$$1$

Considere una carrera en la que los cuatro caballos (digamos F oinavon , G regalach , M on Mome y T ipperary Tim ) son igualmente propensos a ganar: luego, en términos de probabilidades , diríamos que cada uno tuvo un "1 en 4" o 0.25 Posibilidad de victoria. ¿Cuáles serían las probabilidades justas para una apuesta en, digamos, Foinavon? Solo hay un resultado favorable (victoria para F) versus tres resultados desfavorables (victoria para G, M o T), por lo que un estadístico describiría las probabilidades como "1 a 3", o numéricamente como . Sin embargo, una casa de apuestas que use cuotas británicas vería las probabilidades como "3 a 1 contra", y las escribiría simplemente como "3/1" o 3-1 "(ambas leen" tres a uno ";el" contra "es implícito y no se dice). Para un jugador, "probabilidades en contra" significa que una apuesta de £ 1 devolvería una ganancia de £ 3 si tiene éxito (en realidad recibirán £ 4, pero £ 1 de esto es el retorno de la apuesta original) mientras que si no tiene éxito perder la apuesta de £ 1. El jugador tiene tres posibilidades de perder £ 1 y una oportunidad de ganar £ 3, por lo que nuevamente hay cero ganancias / pérdidas esperadas y las probabilidades son justas. Lamentablemente, "probabilidades contra" (la forma habitual de probabilidades ) no corresponde a las "probabilidades a favor" de un estadístico.$\frac{1}{3}$

Cada caballo en nuestra hipotética carrera alcanzó la fama al ganar una vez el Grand National con una probabilidad de 100/1: dado que estas eran altas ("largas") en contra , eran " disparos largos " considerados extremadamente improbables de ganar, y sus patrocinadores eran generosamente recompensado con una ganancia de £ 100 por libra apostada. Si pretendemos que las probabilidades de las casas de apuestas eran las probabilidades justas (lo que ignoraría el exceso de la casa de apuestas, o "vig" ), se consideró que había 100 formas en que el caballo podía perder por cada forma en que el caballo podía ganar, por lo que la probabilidad implícita de éxito fue . Por el contrario, si unestadísticoafirmó que un evento tenía probabilidades de "100 a 1", es un reclamo de que el evento esmuy probable(con una probabilidad de$\frac{1}{101}$ )$\frac{100}{101}$

Si algún laico en su audiencia proviene de un país donde las casas de apuestas usan cuotas fraccionarias, y se cita regularmente en los medios de comunicación (por ejemplo, "Jeremy Corbyn está listo para vencer las probabilidades de 100-1 para convertirse en líder del Partido Laborista del Reino Unido", The Guardian , 11 de septiembre 2015; "11 millones a uno: becerros cuádruples nacidos en el sur de Australia", Sydney Morning Herald , 30 de julio de 2015), y es probable que citar las probabilidades en la forma " to b " cause confusión.$a$$b$

He visto a personas probar esto, tal vez en la creencia de que "el público en general está más familiarizado con las probabilidades que con las probabilidades", pero los estadísticos sabios para los corredores de apuestas, y que por lo tanto nunca han apostado en sus vidas, pueden ser atrapados por sorprende que la concepción popular de las probabilidades sea "al revés". Si se considera que esta confusión supera las ventajas de la formulación " to b " (particularmente que deja en claro que las probabilidades expresan una relación de favorable a desfavorable), entonces sería mejor expresar "probabilidades estadísticas" como un solo número, para distinguir ellos de las probabilidades fraccionales de un corredor de apuestas. Antes de presentar probabilidades estadísticas a tal audiencia, al menos les haría saber los siguientes puntos:$a$$b$

• Las probabilidades de un estadístico corresponden a las "probabilidades de un corredor de apuestas". Si está acostumbrado a "probabilidades contra", las probabilidades de un estadístico pueden parecer "al revés". Por ejemplo, "10 a 1" indica un evento muy probable, y "1000 a 1" es muy probable.
• $\frac{2}{5}$
• Mientras que las casas de apuestas prefieren dar probabilidades como una proporción de números enteros, ** los estadísticos a menudo simplificarán sus probabilidades en la forma "algo a uno", incluso si esto introduce un decimal (por ejemplo, "5 a 2" se convierte en "2.5 a 1") .
• $\frac{7}{9}$
• En esta escala, las probabilidades de cero representan una imposibilidad; las probabilidades entre 0 y 1 indican una probabilidad menor a la media; las probabilidades de 1 muestran una probabilidad del 50%; las probabilidades superiores a 1 indican que el evento es más probable que no; cierto evento tendría probabilidades infinitas.

Matemáticamente tenemos

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

$1.33$$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$

$1.00$$2.00$$\infty$

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

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Aprecio que gran parte de esta respuesta se haya referido a las apuestas y los pagos en lugar de las estadísticas, pero he encontrado que el uso diario de "probabilidades" difiere tan marcadamente de la definición técnica del estadístico, que una comparación exhaustiva podría abordar cierta confusión (ambas -jugadores técnicos y estadísticos que no juegan). Existen, por supuesto, profundos vínculos históricos y filosóficos entre las apuestas y las estadísticas. El problema de los puntos se refería a la división equitativa del premio en un juego de juego interrumpido, y había generado discusión desde la época medieval. Cuando Antoine Gombaud, caballero de Méré planteó una versión del problema en 1654, la correspondencia posterior de Blaise Pascal y Pierre de Fermatsobre el tema sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Más recientemente, Frank Ramsey (en la década de 1920) y Bruno de Finetti (en la década de 1930) examinaron la coherencia de las apuestas (relacionadas con el fenómeno del juego de un libro holandés ) como una justificación de la probabilidad bayesiana: si las probabilidades subjetivas de un agente o grados de Las creencias no obedecen los axiomas de probabilidad , entonces son incoherentes y se puede hacer un libro holandés contra el agente, exponiéndolo a una cierta pérdida. La Enciclopedia de filosofía de Stanford tiene un artículo sobre el "argumento del libro holandés" .

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$*$

$**$