Aproximación

Estaba leyendo casualmente un artículo (en economía) que tenía la siguiente aproximación para :$\log(E(X))$

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$ ,

lo que el autor dice que es exacto si X es log-normal (lo cual sé).

Lo que no sé es cómo derivar esta aproximación. Intenté calcular una aproximación de Taylor de segundo orden y todo lo que se me ocurrió es esta expresión:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Por el método Delta , la varianza de una función de un RV es aproximadamente igual a la varianza del RV multiplicado por la derivada al cuadrado evaluada en la media. Por lo tanto

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

Y ahí lo tienes. Su derivación fue correcta, por supuesto.